a=0 e b=2\pi.
A pergunta é: qual é o comprimento da curva \alpha quando t varia de 0 a 2\pi?
Passo 2
Regra que vamos usar (fórmula do comprimento de arco):
\text{Se }\alpha:[a,b]\to\mathbb{R}^2\text{ é diferenciável, então }L=\int_a^b\|\alpha'(t)\|\,dt.
Aqui \alpha'(t) é o vetor derivada (velocidade) e \|\alpha'(t)\| é o comprimento desse vetor, isto é, a velocidade escalar. Explico: a curva é percorrida por um ponto cuja posição é \alpha(t); a velocidade instantânea é \alpha'(t) e o comprimento total é a soma (integral) das pequenas distâncias \|\alpha'(t)\|\,dt.
Passo 3
Calcular a derivada \alpha'(t) componente a componente:
Derivada de t-\operatorname{sen}t é 1-\cos t.
Derivada de 1-\cos t é \sin t.
Portanto
\alpha'(t)=\bigl(1-\cos t,\;\sin t\bigr).
Passo 4
Calcular o quadrado da norma e simplificar usando identidades trigonométricas:
Agora é importante ver o sinal: para t\in[0,2\pi] temos \tfrac{t}{2}\in[0,\pi], e nesse intervalo \sin\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)\ge 0. Portanto podemos tirar o valor absoluto: