Calcule o comprimento de arco de \alpha entre a e b, onde \alpha, a e b são como abaixo.
\alpha(t)=(t-\operatorname{sen} t, 1-\cos t), a=0 e b=2 \pi;

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva parametrizada \alpha entre a=0 e b=2\pi. As informações dadas são:
  • \displaystyle \alpha(t)=\bigl(t-\operatorname{sen}t,\;1-\cos t\bigr);
  • a=0 e b=2\pi.
    A pergunta é: qual é o comprimento da curva \alpha quando t varia de 0 a 2\pi?

Passo 2

Regra que vamos usar (fórmula do comprimento de arco):
\text{Se }\alpha:[a,b]\to\mathbb{R}^2\text{ é diferenciável, então }L=\int_a^b\|\alpha'(t)\|\,dt.éáã
Aqui \alpha'(t) é o vetor derivada (velocidade) e \|\alpha'(t)\| é o comprimento desse vetor, isto é, a velocidade escalar. Explico: a curva é percorrida por um ponto cuja posição é \alpha(t); a velocidade instantânea é \alpha'(t) e o comprimento total é a soma (integral) das pequenas distâncias \|\alpha'(t)\|\,dt.

Passo 3

Calcular a derivada \alpha'(t) componente a componente:
  • Derivada de t-\operatorname{sen}t é 1-\cos t.
  • Derivada de 1-\cos t é \sin t.
    Portanto
\alpha'(t)=\bigl(1-\cos t,\;\sin t\bigr).

Passo 4

Calcular o quadrado da norma e simplificar usando identidades trigonométricas:
\|\alpha'(t)\|^2=(1-\cos t)^2+(\sin t)^2.
Expandindo e usando \sin^2 t+\cos^2 t=1:
(1-\cos t)^2+\sin^2 t=1-2\cos t+\cos^2 t+\sin^2 t=1-2\cos t+1=2-2\cos t=2(1-\cos t).

Passo 5

Usar a identidade de meia-ângulo \,1-\cos t=2\sin^2\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr) para simplificar a raiz:
\|\alpha'(t)\|^2=2\cdot 2\sin^2\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)=4\sin^2\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr),
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\|\alpha'(t)\|=2\bigl|\sin\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)\bigr|.
Agora é importante ver o sinal: para t\in[0,2\pi] temos \tfrac{t}{2}\in[0,\pi], e nesse intervalo \sin\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)\ge 0. Portanto podemos tirar o valor absoluto:
\|\alpha'(t)\|=2\sin\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)\quad\text{para }t\in[0,2\pi].

Passo 6

Montar e calcular a integral do comprimento:
L=\int_0^{2\pi}2\sin\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)\,dt.
Fazer a substituição u=\tfrac{t}{2}, então dt=2\,du. Os limites: quando t=0 temos u=0; quando t=2\pi temos u=\pi. Assim
L=\int_{0}^{\pi}2\sin(u)\cdot(2\,du)=4\int_{0}^{\pi}\sin u\,du.
Integrando:
4\int_{0}^{\pi}\sin u\,du=4\bigl[-\cos u\bigr]_{0}^{\pi}=4\bigl(-\cos\pi+\cos 0\bigr)=4\bigl(-(-1)+1\bigr)=4\cdot 2=8.

Resposta

8

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