Calcule o comprimento de arco da curva dada pela função vetorial:
\vec{r}(t)=\left(\left(\cos \left(t^{2}\right)\right) \vec{i}+\left(\operatorname{sen}\left(t^{2}\right)\right) \vec{j}+\left(\frac{1}{2} t^{2}\right) \vec{k}\right) d t.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco de uma curva paramétrica dada por
\vec r(t)=\cos\bigl(t^2\bigr)\,\vec i+\sin\bigl(t^2\bigr)\,\vec j+\frac{1}{2}\,t^2\,\vec k.
O conteúdo aqui é o cálculo de comprimento de arco para curvas em \mathbb{R}^3, que usa a fórmula
s=\int_{t_0}^{t_1}\bigl\lVert \vec r\,'(t)\bigr\rVert\,dt.
Assumiremos que o arco é medido de t=0 até um parâmetro genérico t.

Passo 2

Primeiro derivamos cada componente de \vec r(t):
\frac{d}{dt}\bigl[\cos(t^2)\bigr]=-2t\sin(t^2), \quad \frac{d}{dt}\bigl[\sin(t^2)\bigr]=2t\cos(t^2), \quad \frac{d}{dt}\Bigl[\tfrac12\,t^2\Bigr]=t.
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\vec r\,'(t)=-2t\sin(t^2)\,\vec i+2t\cos(t^2)\,\vec j+t\,\vec k.

Passo 3

Calculamos a norma de \vec r\,'(t):
\bigl\lVert \vec r\,'(t)\bigr\rVert =\sqrt{(-2t\sin(t^2))^2+(2t\cos(t^2))^2+(t)^2} =\sqrt{4t^2\sin^2(t^2)+4t^2\cos^2(t^2)+t^2}.
Como \sin^2+\cos^2=1, isso simplifica para
\bigl\lVert \vec r\,'(t)\bigr\rVert =\sqrt{4t^2+t^2} =\sqrt{5\,t^2} =\sqrt{5}\;t,
válido para t\ge0.

Passo 4

O comprimento de arco de t=0 até t é
s(t)=\int_{0}^{t}\bigl\lVert \vec r\,'(u)\bigr\rVert\,du =\int_{0}^{t}\sqrt{5}\;u\,du.

Passo 5

Integramos:
s(t) =\sqrt{5}\,\int_{0}^{t}u\,du =\sqrt{5}\,\biggl[\frac{u^2}{2}\biggr]_{0}^{t} =\frac{\sqrt{5}}{2}\;t^2.

Resposta

O comprimento de arco da curva de t=0 até t é
s(t)=\frac{\sqrt{5}}{2}\;t^2.

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