Calcule as integrais:
\left.\int\left(t \operatorname{sen}\left(t^{2}\right)\right) \vec{i}+(\cos (t)) \vec{j}+\left(\frac{t^{2}}{2}\right) \vec{k}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (antiderivada) do campo vetorial
\mathbf{F}(t)=t\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,\vec{i}+\cos(t)\,\vec{j}+\frac{t^{2}}{2}\,\vec{k}
em relação a t. Para isso, basta integrar cada componente separadamente usando técnicas de substituição e a regra do poder.

Passo 2

Integramos a componente em \vec{i}:
\int t\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt.
Fazemos a substituição u=t^{2}, de modo que du=2t\,dt ou t\,dt=\tfrac{1}{2}\,du. Então
\int t\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt =\int \sin(u)\,\frac{du}{2} =\frac{1}{2}\int \sin(u)\,du =-\frac{1}{2}\cos(u)+C_1 =-\frac{1}{2}\cos\bigl(t^{2}\bigr)+C_1.

Passo 3

Integramos a componente em \vec{j}:
\int \cos(t)\,dt =\sin(t)+C_2,
pois a derivada de \sin(t) é \cos(t).

Passo 4

Integramos a componente em \vec{k}:
\int \frac{t^{2}}{2}\,dt =\frac{1}{2}\int t^{2}\,dt =\frac{1}{2}\cdot\frac{t^{3}}{3}+C_3 =\frac{t^{3}}{6}+C_3.

Passo 5

Juntando tudo, a primitiva geral do campo vetorial é
\mathbf{F}_{\text{primitiva}}(t) =-\frac{1}{2}\cos\bigl(t^{2}\bigr)\,\vec{i} +\sin(t)\,\vec{j} +\frac{t^{3}}{6}\,\vec{k} +\mathbf{C},
onde \mathbf{C}=C_1\,\vec{i}+C_2\,\vec{j}+C_3\,\vec{k} é o vetor constante de integração.

Resposta

\boxed{ \int\bigl(t\sin(t^{2})\,\vec{i}+\cos t\,\vec{j}+\tfrac{t^{2}}{2}\,\vec{k}\bigr)\,dt =-\tfrac{1}{2}\cos(t^{2})\,\vec{i}+\sin(t)\,\vec{j}+\tfrac{t^{3}}{6}\,\vec{k}+\mathbf{C}. }

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