Calcule as integrais:
\int\left(t^{2} e^{t^{3}} \vec{i}+4 \vec{j}-\frac{1}{t} \vec{k}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida do campo vetorial
\mathbf{F}(t)=t^{2}e^{t^{3}}\;\vec{i}+4\;\vec{j}-\frac{1}{t}\;\vec{k}
em função de t. Como é uma integral de um vetor em uma variável, vamos integrar componente a componente. Para isso precisaremos de:
– substituição para a componente em \vec{i},
– uma antiderivada direta para a componente em \vec{j},
– a fórmula de \ln para a componente em \vec{k}.

Passo 2

Integramos a primeira componente
\int t^{2}e^{t^{3}}\,dt.
Fazendo u=t^{3}, temos du=3t^{2}dt ou t^{2}dt=\tfrac{1}{3}du. Logo,
\int t^{2}e^{t^{3}}\,dt =\int e^{u}\,\frac{1}{3}du =\frac{1}{3}e^{u} =\frac{1}{3}e^{t^{3}}.

Passo 3

Integramos a segunda componente
\int 4\,dt =4t.

Passo 4

Integramos a terceira componente
\int \bigl(-\tfrac{1}{t}\bigr)\,dt =-\int \frac{1}{t}\,dt =-\ln\bigl|t\bigr|.

Resposta

Juntando tudo e acrescentando a constante vetorial \vec{C}, temos
\int\mathbf{F}(t)\,dt =\frac{1}{3}e^{t^{3}}\;\vec{i} +4t\;\vec{j} -\ln\bigl|t\bigr|\;\vec{k} +\vec{C}.

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