Calcule o comprimento de arco da curva dada.
(a)
tcost, tsent
com
.
(b)
com
.
©
cost, sent,
.
(d)
cost,
sent,
.
(e)
com
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos calcular o comprimento do arco das curvas que você mandou! Isso faz parte do tópico de Cálculo, especificamente de Cálculo Vetorial ou Geometria Analítica. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas. Vou te mostrar como aplicar isso passo a passo para cada parte do exercício.
Passo 2
Curva dada:
com
.
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o comprimento do arco de uma curva parametrizada
, usamos a fórmula:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento do arco:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Observe que os termos
e
se cancelam, então:
]
Sabemos que
, então:
Passo 6
Então, a integral fica mais simples:
Passo 7
Essa integral pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica ou reconhecendo que é uma forma padrão. A antiderivada de
é:
Mas para calcular o valor exato, vamos usar a antiderivada:
Passo 8
Agora, substituímos os limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 9
Então, o comprimento do arco é:
Passo 10
Curva dada:
com
.
Vamos usar a mesma fórmula do comprimento do arco.
Passo 11
Calculamos as derivadas:
Passo 12
Substituímos na fórmula:
Passo 13
Como
é constante, a integral fica:
Passo 14
Curva dada:
com
.
Vamos usar a fórmula do comprimento do arco para curvas no espaço tridimensional.
Passo 15
A fórmula geral para o comprimento do arco no espaço é:
Vamos calcular as derivadas:
Passo 16
Substituindo na fórmula:
Passo 17
Sabemos que
, então:
Passo 18
Essa integral pode não ter uma antiderivada elementar, então geralmente é resolvida numericamente. Porém, para expressar simbolicamente:
Passo 19
Curva dada:
com
.
Vamos novamente usar a fórmula do comprimento do arco no espaço.
Passo 20
Calculamos as derivadas:
Passo 21
Substituímos na fórmula:
Passo 22
Vamos simplificar cada termo:
Primeiro, fatoramos
:
Expande os quadrados:
Passo 23
Somando:
Então, a integral fica:
Passo 24
Calculando a integral:
Passo 25
Curva dada:
com
.
Antes de mais nada, note que
não está definida para
. Então, assumirei que o intervalo é
.
Vamos usar a fórmula do comprimento do arco para funções no plano.
Passo 26
Calculamos as derivadas:
Passo 27
Substituímos na fórmula:
Passo 28
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 29
Fazemos uma substituição para resolver a integral. Vamos usar
, então:
Substituindo na integral:
Mas isso não simplifica bem, então vamos tentar outra abordagem.
Na verdade, uma melhor substituição é
, mas para simplificar, podemos reconhecer que essa integral também pode ser expressa de forma simbólica ou resolvida numericamente.
Resposta
O comprimento do arco da curva
para
é dado pela integral:
Que pode ser simplificada para:
Essa integral geralmente é resolvida numericamente.
Conclusão
Calculamos os comprimentos dos arcos para todas as partes do exercício usando a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas. Algumas integrais resultantes podem ser resolvidas analiticamente, enquanto outras podem exigir métodos numéricos para obter uma resposta precisa.