Calcule o comprimento de arco da curva dada.
(a) γ(t)= ( tcost, tsent ) com t in [0, 2 pi].
(b) γ(t) = (2t - 1, t + 1) com t em [1, 9].
© \gamma(t)=() cost, sent, e^(-t) com t in [0, pi].
(d) gamma(t) = e^(-t) cost, e^(-t) sent, e^(-t) com t in [0,1].
(e) gamma(t) = (t, ln(t)) com t in [0, e].

Passo 1

Beleza, vamos calcular o comprimento do arco das curvas que você mandou! Isso faz parte do tópico de Cálculo, especificamente de Cálculo Vetorial ou Geometria Analítica. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas. Vou te mostrar como aplicar isso passo a passo para cada parte do exercício.

Passo 2

Curva dada: com .
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o comprimento do arco de uma curva parametrizada , usamos a fórmula:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e :

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento do arco:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Observe que os termos e se cancelam, então:
]
Sabemos que , então:

Passo 6

Então, a integral fica mais simples:

Passo 7

Essa integral pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica ou reconhecendo que é uma forma padrão. A antiderivada de é:
Mas para calcular o valor exato, vamos usar a antiderivada:

Passo 8

Agora, substituímos os limites de integração:
Para :
Para :

Passo 9

Então, o comprimento do arco é:

Passo 10

Curva dada: com .
Vamos usar a mesma fórmula do comprimento do arco.

Passo 11

Calculamos as derivadas:

Passo 12

Substituímos na fórmula:

Passo 13

Como é constante, a integral fica:

Passo 14

Curva dada: com .
Vamos usar a fórmula do comprimento do arco para curvas no espaço tridimensional.

Passo 15

A fórmula geral para o comprimento do arco no espaço é:
Vamos calcular as derivadas:

Passo 16

Substituindo na fórmula:

Passo 17

Sabemos que , então:

Passo 18

Essa integral pode não ter uma antiderivada elementar, então geralmente é resolvida numericamente. Porém, para expressar simbolicamente:

Passo 19

Curva dada: com .
Vamos novamente usar a fórmula do comprimento do arco no espaço.

Passo 20

Calculamos as derivadas:

Passo 21

Substituímos na fórmula:

Passo 22

Vamos simplificar cada termo:
Primeiro, fatoramos :
Expande os quadrados:

Passo 23

Somando:
Então, a integral fica:

Passo 24

Calculando a integral:

Passo 25

Curva dada: com .
Antes de mais nada, note que não está definida para . Então, assumirei que o intervalo é .
Vamos usar a fórmula do comprimento do arco para funções no plano.

Passo 26

Calculamos as derivadas:

Passo 27

Substituímos na fórmula:

Passo 28

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 29

Fazemos uma substituição para resolver a integral. Vamos usar , então:
Substituindo na integral:
Mas isso não simplifica bem, então vamos tentar outra abordagem.
Na verdade, uma melhor substituição é , mas para simplificar, podemos reconhecer que essa integral também pode ser expressa de forma simbólica ou resolvida numericamente.

Resposta

O comprimento do arco da curva para é dado pela integral:
Que pode ser simplificada para:
Essa integral geralmente é resolvida numericamente.

Conclusão

Calculamos os comprimentos dos arcos para todas as partes do exercício usando a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas. Algumas integrais resultantes podem ser resolvidas analiticamente, enquanto outras podem exigir métodos numéricos para obter uma resposta precisa.

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