Calcule o comprimento de arco da curva parametrizada alpha(t)=(2 t^3, 1-t^3+2 t^9 / 2, t^3+2 t^9 / 2), t in[0 ; 1].

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva parametrizada α(t) = (2t³, 1–t³+2t^{9/2}, t³+2t^{9/2}) em t∈[0,1]. O conteúdo é comprimento de arco de curva no R³, vamos precisar da fórmula L=∫₀¹||α′(t)||dt e da regra de derivação e soma de quadrados.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada componente a componente: α(t)=(x(t),y(t),z(t)) com x(t)=2t³, y(t)=1–t³+2t^{9/2}, z(t)=t³+2t^{9/2}. Assim
x'(t)=6t^2, y'(t)=-3t^2+9t^7/2, z'(t)=3t^2+9t^7/2

Passo 3

Em seguida montamos ||α′(t)||² somando os quadrados:
$$||α’(t)||2=(6t2)2+(-3t2+9t{7/2})2+(3t2+9t{7/2})^2
=54t4(1+3t3).$$

Passo 4

Logo
||α'(t)||=raiz54t^4(1+3t^3)=3raiz6,t^2raiz1+3t^3

Passo 5

Agora montamos a integral do comprimento:
L=integral0^1||α'(t)||,dt=3raiz6integral0^1t^2raiz1+3t^3,dt

Passo 6

Para resolver, usamos a substituição u=1+3t^3 ⇒ du=9t^2dt. Quando t=0,u=1 e quando t=1,u=4. Assim
$$L=3\sqrt6\int_{u=1}^{4}\sqrt u\frac{du}{9}=\frac{\sqrt6}{3}\int_14u{1/2}du.
$$

Passo 7

Integramos u^{1/2}:
integral1^4u^1/2du=23l[u^3/2r]1^4=23(4^3/2-1)=23(8-1)=143

Passo 8

Multiplicando os fatores:
L=raiz63cdot143=14raiz69

Resposta

L=14raiz69

Exercícios relacionados