Calcule o comprimento de arco da curva parametrizada
,
.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco da curva parametrizada α(t) = (2t³, 1–t³+2t^{9/2}, t³+2t^{9/2}) em t∈[0,1]. O conteúdo é comprimento de arco de curva no R³, vamos precisar da fórmula L=∫₀¹||α′(t)||dt e da regra de derivação e soma de quadrados.
Passo 2
Primeiro calculamos a derivada componente a componente: α(t)=(x(t),y(t),z(t)) com x(t)=2t³, y(t)=1–t³+2t^{9/2}, z(t)=t³+2t^{9/2}. Assim
Passo 3
Em seguida montamos ||α′(t)||² somando os quadrados:
$$||α’(t)||2=(6t2)2+(-3t2+9t{7/2})2+(3t2+9t{7/2})^2
=54t4(1+3t3).$$
Passo 4
Logo
Passo 5
Agora montamos a integral do comprimento:
Passo 6
Para resolver, usamos a substituição u=1+3t^3 ⇒ du=9t^2dt. Quando t=0,u=1 e quando t=1,u=4. Assim
$$L=3\sqrt6\int_{u=1}^{4}\sqrt u\frac{du}{9}=\frac{\sqrt6}{3}\int_14u{1/2}du.
$$
Passo 7
Integramos u^{1/2}:
Passo 8
Multiplicando os fatores: