Seja
uma função vetorial de classe
. Mostre que
. onde
é a curvatura.
Dica: Observe que
e derive essa relação.
Dica: Observe que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma curva vetorial de classe C² parametricamente dada por t em [a,b], valendo s(t) o comprimento de arco e T e N os vetores tangente e normal unitários, temos
. Vamos usar o fato dado de que
e as definições de velocidade, vetor tangente e curvatura.
Passo 2
Definimos a velocidade escalar
. O vetor tangente unitário é
, logo reescrevemos
.
Passo 3
Agora derivamos a expressão
em relação a t usando a regra do produto:
Passo 4
Para obter
usamos a definição de curvatura no parâmetro de arco: e o vetor normal unitário N definido por
. Como
, segue
Passo 5
Substituindo na expressão de
obtemos
que é justamente a relação desejada.