Seja alpha:[a, b] R^2 uma função vetorial de classe C^2. Mostre que alpha^prime prime=d^2 sd t^2 T+(d sd t)^2 k N. onde k é a curvatura.
Dica: Observe que alpha^prime=d sd iota T e derive essa relação.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma curva vetorial de classe C² parametricamente dada por t em [a,b], valendo s(t) o comprimento de arco e T e N os vetores tangente e normal unitários, temos alpha''=d^2sdt^2T+l(dsdtr)^2k,N. Vamos usar o fato dado de que alpha'=dsdtT e as definições de velocidade, vetor tangente e curvatura.

Passo 2

Definimos a velocidade escalar v(t)=dsdt=|alpha'(t)|. O vetor tangente unitário é T(t)=alpha'(t)v(t), logo reescrevemos alpha'=vT.

Passo 3

Agora derivamos a expressão alpha'=vT em relação a t usando a regra do produto:
alpha''=dvdt,T+v,dTdt

Passo 4

Para obter dT/dt usamos a definição de curvatura no parâmetro de arco: e o vetor normal unitário N definido por dT/ds=kappa N. Como dT/dt=(dT/ds)(ds/dt), segue
dTdt=kappa,N;dsdt=v,kappa,N

Passo 5

Substituindo na expressão de alpha'' obtemos
alpha''=dvdtT+vl(vkappa Nr)=d^2sdt^2T+l(dsdtr)^2kappa,N,
que é justamente a relação desejada.

Resposta

alpha''=d^2sdt^2T+l(dsdtr)^2k,N

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