Verifique que f(x)=senh(x), g(x)=tgh(x), h(x)=cotgh(x) e F(x)=cosech(x) são funções ímpares e G(x)=cosh (x), H(x)=sech(x) são funções pares.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos várias funções hiperbólicas e precisamos verificar se elas são funções ímpares ou pares. Isso envolve entender o conceito de função ímpar e função par na matemática. Para resolver isso, vamos usar as definições de funções pares e ímpares:
  • Função Par: Uma função $ f(x) $ é par se $ f(-x) = f(x) $ para todo $ x $ no domínio da função.
  • Função Ímpar: Uma função $ f(x) $ é ímpar se $ f(-x) = -f(x) $ para todo $ x $ no domínio da função.
Vamos aplicar essas definições às funções dadas.

Passo 2

Vamos começar verificando a função $ f(x) = \sinh(x) $.
Sabemos que a função seno hiperbólico é definida por:
f(x) = sinh(x)
Agora, calculamos $ \sinh(-x) $:
sinh(x) = e^x - e^-x2
Como $ \sinh(-x) = -\sinh(x) $, a função $ \sinh(x) $ é ímpar.

Passo 3

Agora, vamos verificar $ g(x) = \tanh(x) $.
A função tangente hiperbólica é:
g(x) = tanh(x)
Calculando $ \tanh(-x) $:
tanh(x) = sinh(x)cosh(x) = e^x - e^-xe^x + e^-x
Como $ \tanh(-x) = -\tanh(x) $, a função $ \tanh(x) $ é ímpar.

Passo 4

Vamos verificar $ h(x) = \coth(x) $.
A função cotangente hiperbólica é:
h(x) = coth(x)
Calculando $ \coth(-x) $:
coth(x) = cosh(x)sinh(x)
Como $ \coth(-x) = -\coth(x) $, a função $ \coth(x) $ é ímpar.

Passo 5

Agora, vamos verificar $ F(x) = \cosech(x) $.
A função cossecante hiperbólica é:
Calculando $ \cosech(-x) $:
Como $ \cosech(-x) = -\cosech(x) $, a função $ \cosech(x) $ é ímpar.

Passo 6

Agora, vamos verificar $ G(x) = \cosh(x) $.
A função cosseno hiperbólico é:
G(x) = cosh(x)
Calculando $ \cosh(-x) $:
cosh(x) = e^x + e^-x2
Como $ \cosh(-x) = \cosh(x) $, a função $ \cosh(x) $ é par.

Passo 7

Por fim, vamos verificar $ H(x) = \sech(x) $.
A função secante hiperbólica é:
Calculando $ \sech(-x) $:
Como $ \sech(-x) = \sech(x) $, a função $ \sech(x) $ é par.

Resposta

Concluímos que $ f(x) = \sinh(x) $, $ g(x) = \tanh(x) $, $ h(x) = \coth(x) $ e $ F(x) = \cosech(x) $ são funções ímpares, enquanto $ G(x) = \cosh(x) $ e $ H(x) = \sech(x) $ são funções pares.

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