Verifique que
e
são funções ímpares e
são funções pares.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos várias funções hiperbólicas e precisamos verificar se elas são funções ímpares ou pares. Isso envolve entender o conceito de função ímpar e função par na matemática. Para resolver isso, vamos usar as definições de funções pares e ímpares:
- Função Par: Uma função $ f(x) $ é par se $ f(-x) = f(x) $ para todo $ x $ no domínio da função.
- Função Ímpar: Uma função $ f(x) $ é ímpar se $ f(-x) = -f(x) $ para todo $ x $ no domínio da função.
Vamos aplicar essas definições às funções dadas.
Passo 2
Vamos começar verificando a função $ f(x) = \sinh(x) $.
Sabemos que a função seno hiperbólico é definida por:
Agora, calculamos $ \sinh(-x) $:
Como $ \sinh(-x) = -\sinh(x) $, a função $ \sinh(x) $ é ímpar.
Passo 3
Agora, vamos verificar $ g(x) = \tanh(x) $.
A função tangente hiperbólica é:
Calculando $ \tanh(-x) $:
Como $ \tanh(-x) = -\tanh(x) $, a função $ \tanh(x) $ é ímpar.
Passo 4
Vamos verificar $ h(x) = \coth(x) $.
A função cotangente hiperbólica é:
Calculando $ \coth(-x) $:
Como $ \coth(-x) = -\coth(x) $, a função $ \coth(x) $ é ímpar.
Passo 5
Agora, vamos verificar $ F(x) = \cosech(x) $.
A função cossecante hiperbólica é:
Calculando $ \cosech(-x) $:
Como $ \cosech(-x) = -\cosech(x) $, a função $ \cosech(x) $ é ímpar.
Passo 6
Agora, vamos verificar $ G(x) = \cosh(x) $.
A função cosseno hiperbólico é:
Calculando $ \cosh(-x) $:
Como $ \cosh(-x) = \cosh(x) $, a função $ \cosh(x) $ é par.
Passo 7
Por fim, vamos verificar $ H(x) = \sech(x) $.
A função secante hiperbólica é:
Calculando $ \sech(-x) $:
Como $ \sech(-x) = \sech(x) $, a função $ \sech(x) $ é par.
Resposta
Concluímos que $ f(x) = \sinh(x) $, $ g(x) = \tanh(x) $, $ h(x) = \coth(x) $ e $ F(x) = \cosech(x) $ são funções ímpares, enquanto $ G(x) = \cosh(x) $ e $ H(x) = \sech(x) $ são funções pares.