Calcule o comprimento de arco da curva parametrizada
\vec{r}(t)=\left(1+t^{2}\right) \vec{i}+\left(t^{2}+t^{3}\right) \vec{j}+ \left(1+t^{2}-t^{3}\right) \vec{k},
definida para 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco de uma curva parametrizada por
\vec{r}(t)=\bigl(1+t^{2},\,t^{2}+t^{3},\,1+t^{2}-t^{3}\bigr),
para 0\le t\le1.
Conteúdo: comprimento de arco de uma curva em \mathbb{R}^3. Vamos usar a fórmula
L=\int_{a}^{b}\bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
\vec{r}\,'(t)=\bigl(2t,\;2t+3t^{2},\;2t-3t^{2}\bigr).

Passo 3

Agora obtemos o quadrado da norma:
\bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\|^{2}=(2t)^{2}+(2t+3t^{2})^{2}+(2t-3t^{2})^{2}.
Desenvolvendo,
(2t)^{2}=4t^{2}, \quad (2t+3t^{2})^{2}=4t^{2}+12t^{3}+9t^{4}, \quad (2t-3t^{2})^{2}=4t^{2}-12t^{3}+9t^{4}.
Somando,
4t^{2}+4t^{2}+4t^{2}+(12t^{3}-12t^{3})+(9t^{4}+9t^{4}) =12t^{2}+18t^{4}.

Passo 4

Fatoramos 12t^{2}+18t^{4}=6t^{2}(2+3t^{2}). Logo
\bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\| =\sqrt{6t^{2}(2+3t^{2})} =\sqrt{6}\;t\,\sqrt{2+3t^{2}},
para t\ge0.

Passo 5

O comprimento de arco é
L=\int_{0}^{1}\sqrt{6}\;t\,\sqrt{2+3t^{2}}\;dt =\sqrt{6}\int_{0}^{1}t\,\sqrt{2+3t^{2}}\;dt.

Passo 6

Fazemos a substituição u=2+3t^{2}, de onde du=6t\,dt. Quando t=0, u=2; quando t=1, u=5.
Assim,
L =\sqrt{6}\int_{u=2}^{5}\sqrt{u}\,\frac{du}{6} =\frac{\sqrt{6}}{6}\int_{2}^{5}u^{\tfrac12}du =\frac{\sqrt{6}}{6}\,\biggl[\frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32}\biggr]_{2}^{5} =\frac{\sqrt{6}}{9}\bigl(5^{\tfrac32}-2^{\tfrac32}\bigr).

Resposta

L=\frac{\sqrt{6}}{9}\bigl(5\sqrt{5}-2\sqrt{2}\bigr).

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