Calcule o comprimento de arco da curva r(t)=(x(t), y(t)) para -1 \leq t \leq 0. Sendo x=t e y=\frac{1}{2}\left(e^{t}+e^{-t}\right)

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva paramétrica \displaystyle r(t)=(x(t),y(t)) para -1 \le t \le 0, em que
x(t)=t, \quad y(t)=\tfrac12\bigl(e^t+e^{-t}\bigr).
O conteúdo aqui é a fórmula de comprimento de arco de uma curva plana:
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\;dt.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas:
x'(t)=1, \qquad y'(t)=\frac{d}{dt}\!\biggl[\tfrac12(e^t+e^{-t})\biggr] =\tfrac12\bigl(e^t-e^{-t}\bigr)=\operatorname{sinh}(t).
Logo o comprimento de arco é
L=\int_{-1}^{0}\sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}(t)}\;dt.

Passo 3

Usamos a identidade hiperbólica 1+\operatorname{sinh}^{2}(t)=\operatorname{cosh}^{2}(t), então
\sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}(t)}=\operatorname{cosh}(t)\quad(\operatorname{cosh}(t)\ge0).
Assim
L=\int_{-1}^{0}\operatorname{cosh}(t)\;dt =\operatorname{sinh}(t)\Big|_{-1}^{0} =\operatorname{sinh}(0)-\operatorname{sinh}(-1) =0-(-\operatorname{sinh}(1)) =\operatorname{sinh}(1).

Resposta

O comprimento de arco é \operatorname{sinh}(1).

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