Use a lógica proposicional para provar que o argumento é válido:
(\mathrm{P} \rightarrow \mathrm{Q}) \wedge(\neg \mathrm{P} \rightarrow \mathrm{Q}) \rightarrow \mathrm{Q}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o seguinte argumento é válido em lógica proposicional:
(P \to Q)\wedge(\neg P \to Q)\;\to\;Q.
O que vamos usar é a equivalência entre implicação e disjunção, e depois propriedades de distributividade e da conjunção com contradição.

Passo 2

Usamos a equivalência
A\to B\;\equiv\;\neg A\lor B.
Aplicando-a em cada implicação, obtemos
P\to Q\equiv\neg P\lor Q, \quad \neg P\to Q\equiv P\lor Q.

Passo 3

Portanto a conjunção das duas hipóteses vira
(\neg P\lor Q)\,\wedge\,(P\lor Q).

Passo 4

Agora aplicamos a distributividade de “ \wedge” sobre “ \lor”:
(\neg P\lor Q)\wedge(P\lor Q) \;\equiv\; (\neg P\wedge P)\;\lor\;Q.

Passo 5

Como \neg P\wedge P é sempre falso (contradição), temos
(\neg P\wedge P)\lor Q \;\equiv\; \bot\lor Q \;\equiv\; Q.

Passo 6

Logo, as premissas (P\to Q)\wedge(\neg P\to Q) são logicamente equivalentes a Q. Assim a fórmula
\bigl((P\to Q)\wedge(\neg P\to Q)\bigr)\;\to\;Q
é equivalente a Q\to Q,
que é uma tautologia. Portanto o argumento é válido.

Resposta

O argumento é válido, pois a fórmula (P\to Q)\wedge(\neg P\to Q)\;\to\;Q é tautologia.

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