Calcule o comprimento de arco das curvas abainco:
Passo 1
O enunciado fornece a curva e o intervalo:
- Função
. - Intervalo de
: .
O que se pede:
- Calcular o comprimento de arco da curva entre
e .
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicação didática): para uma curva dada por
suave em
, o comprimento de arco
é obtido somando (integrando) os pequenos comprimentos de segmento
ao longo da curva. Cada pequeno segmento pode ser aproximado por um triângulo retângulo com catetos
e
, então
Logo, a fórmula exata do comprimento é
Aqui
é a derivada da função; ela representa a inclinação da curva em cada ponto.
Passo 3
Calcular a derivada
(passo-a-passo das derivações):
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Constante
tem derivada .
Portanto
Para manipular melhor, coloque sobre denominador comum
:
Passo 4
Montar o integrando
e simplificar cuidadosamente.
Primeiro calcule
:
Agora some 1 (escrevendo 1 com o mesmo denominador
):
Expanda e some os termos do numerador:
logo
Portanto
Tirando a raiz quadrada (escolhendo o sinal positivo porque para
e o numerador é positivo):
Observação: esse tipo de simplificação (surgimento de um quadrado perfeito) é uma situação favorável pois transforma o integrando numa função racional simples.
Passo 5
Simplificar a expressão do integrando para integrar com facilidade:
Logo o comprimento de arco é
Passo 6
Calcular a integral termo a termo (mostrar antiderivadas):
- Antiderivada de
:
- Antiderivada de
:
Portanto uma primitiva conveniente é
Avalie entre
e
:
- Em
:
Colocando em denominador comum
:
, então
- Em
:
Subtraindo:
Passo 7
Interpretação final e verificação rápida: o resultado
é a forma exata. Em decimal isso é aproximadamente
. A integral foi direta após a simplificação do integrando para uma soma de potências racionais, o que facilita muito a resolução na prova.