Calcule o comprimento de arco das curvas abainco:
y=\frac{1}{2} x^{3}+\frac{1}{6 x}-1,1 \leqslant x \leqslant 3

Passo 1

O enunciado fornece a curva e o intervalo:
  • Função y=\frac{1}{2}x^{3}+\frac{1}{6x}-1.
  • Intervalo de x: [1,3].
O que se pede:
  • Calcular o comprimento de arco da curva entre x=1 e x=3.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicação didática): para uma curva dada por y=y(x) suave em [a,b], o comprimento de arco L é obtido somando (integrando) os pequenos comprimentos de segmento \,ds ao longo da curva. Cada pequeno segmento pode ser aproximado por um triângulo retângulo com catetos dx e dy, então
ds \approx \sqrt{dx^{2}+dy^{2}} = \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\;dx.
Logo, a fórmula exata do comprimento é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
Aqui y'(x)=\dfrac{dy}{dx} é a derivada da função; ela representa a inclinação da curva em cada ponto.

Passo 3

Calcular a derivada y'(x) (passo-a-passo das derivações):
  • Derivada de \frac{1}{2}x^{3} é \frac{3}{2}x^{2}.
  • Derivada de \frac{1}{6x} é \frac{1}{6}\cdot(-1)x^{-2}=-\frac{1}{6x^{2}}.
  • Constante -1 tem derivada 0.
Portanto
y'(x)=\frac{3}{2}x^{2}-\frac{1}{6x^{2}}.
Para manipular melhor, coloque sobre denominador comum 6x^{2}:
y'(x)=\frac{9x^{4}-1}{6x^{2}}.

Passo 4

Montar o integrando \sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}} e simplificar cuidadosamente.
Primeiro calcule \bigl(y'(x)\bigr)^{2}:
\bigl(y'(x)\bigr)^{2}=\left(\frac{9x^{4}-1}{6x^{2}}\right)^{2}=\frac{(9x^{4}-1)^{2}}{36x^{4}}.
Agora some 1 (escrevendo 1 com o mesmo denominador 36x^{4}):
1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}=\frac{36x^{4}+(9x^{4}-1)^{2}}{36x^{4}}.
Expanda e some os termos do numerador:
(9x^{4}-1)^{2}=81x^{8}-18x^{4}+1,
logo
36x^{4}+(9x^{4}-1)^{2}=81x^{8}+18x^{4}+1=(9x^{4}+1)^{2}.
Portanto
1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}=\frac{(9x^{4}+1)^{2}}{36x^{4}}.
Tirando a raiz quadrada (escolhendo o sinal positivo porque para x\in[1,3] x>0 e o numerador é positivo):
\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}=\frac{9x^{4}+1}{6x^{2}}.
Observação: esse tipo de simplificação (surgimento de um quadrado perfeito) é uma situação favorável pois transforma o integrando numa função racional simples.

Passo 5

Simplificar a expressão do integrando para integrar com facilidade:
\frac{9x^{4}+1}{6x^{2}}=\frac{9x^{4}}{6x^{2}}+\frac{1}{6x^{2}}=\frac{3}{2}x^{2}+\frac{1}{6x^{2}}.
Logo o comprimento de arco é
L=\int_{1}^{3}\left(\frac{3}{2}x^{2}+\frac{1}{6x^{2}}\right)\,dx.

Passo 6

Calcular a integral termo a termo (mostrar antiderivadas):
  • Antiderivada de \frac{3}{2}x^{2}:
\int \frac{3}{2}x^{2}\,dx=\frac{3}{2}\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{x^{3}}{2}.
  • Antiderivada de \frac{1}{6x^{2}}:
\int \frac{1}{6}x^{-2}\,dx=\frac{1}{6}\cdot\left(-x^{-1}\right)=-\frac{1}{6x}.
Portanto uma primitiva conveniente é
F(x)=\frac{x^{3}}{2}-\frac{1}{6x}.
Avalie entre 1 e 3:
  • Em x=3:
F(3)=\frac{3^{3}}{2}-\frac{1}{6\cdot 3}=\frac{27}{2}-\frac{1}{18}.
Colocando em denominador comum 18: \frac{27}{2}=\frac{243}{18}, então F(3)=\frac{243}{18}-\frac{1}{18}=\frac{242}{18}=\frac{121}{9}.
  • Em x=1:
F(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{1}{3}.
Subtraindo:
L=F(3)-F(1)=\frac{121}{9}-\frac{1}{3}=\frac{121}{9}-\frac{3}{9}=\frac{118}{9}.

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida: o resultado \dfrac{118}{9} é a forma exata. Em decimal isso é aproximadamente 13{,}111\ldots. A integral foi direta após a simplificação do integrando para uma soma de potências racionais, o que facilita muito a resolução na prova.

Resposta

\dfrac{118}{9}

Exercícios relacionados