Calcule o comprimento de arco das curvas abainco:
y=x^{3 / 2}-4,1 \leq x \leq 4

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva dada por y=x^{3/2}-4 no intervalo 1 \leq x \leq 4.
Informações fornecidas:
  • Função: y=x^{3/2}-4.
  • Intervalo de integração: x\in[1,4].
  • Pedido: calcular o comprimento de arco da curva entre x=1 e x=4.

Passo 2

Vamos usar a fórmula do comprimento de arco para uma curva dada por y=f(x), a\le x\le b. A fórmula é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx.
Explicando: \dfrac{dy}{dx} é a derivada de y em relação a x (a taxa de variação instantânea da função). A expressão \sqrt{1+(\dfrac{dy}{dx})^{2}} aparece porque, ao aproximar o arco por pequenos segmentos retos, o comprimento desses segmentos é \sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}=\lvert\Delta x\rvert\sqrt{1+(\Delta y/\Delta x)^{2}} e, ao passar ao limite, obtemos a integral acima.

Passo 3

Calculo a derivada \dfrac{dy}{dx} da função y=x^{3/2}-4. Para potências \dfrac{d}{dx}x^{p}=p x^{p-1}. Assim,
\frac{dy}{dx}=\frac{3}{2}x^{1/2}.
Aqui x^{1/2}=\sqrt{x}.

Passo 4

Agora calculemos o integrando 1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{2}. Primeiro elevando ao quadrado:
\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}=\left(\frac{3}{2}x^{1/2}\right)^{2}=\frac{9}{4}x.
Somando 1:
1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}=1+\frac{9}{4}x=\frac{4+9x}{4}.
A raiz quadrada fica
\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4+9x}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{9x+4}.

Passo 5

Substituindo na fórmula do comprimento de arco:
L=\int_{1}^{4}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx=\int_{1}^{4}\frac{1}{2}\sqrt{9x+4}\,dx=\frac{1}{2}\int_{1}^{4}\sqrt{9x+4}\,dx.

Passo 6

Para calcular a integral use substituição linear. Tome u=9x+4. Então du=9\,dx e dx=\dfrac{du}{9}. Mudando limites: quando x=1 tem u=9\cdot1+4=13; quando x=4 tem u=9\cdot4+4=40. Assim
L=\frac{1}{2}\int_{x=1}^{x=4}\sqrt{9x+4}\,dx=\frac{1}{2}\int_{u=13}^{u=40}\sqrt{u}\cdot\frac{du}{9}=\frac{1}{18}\int_{13}^{40}u^{1/2}\,du.

Passo 7

Integro u^{1/2}: \displaystyle\int u^{1/2}\,du=\frac{2}{3}u^{3/2}. Portanto
L=\frac{1}{18}\cdot\frac{2}{3}\Big[u^{3/2}\Big]_{13}^{40}=\frac{1}{27}\Big(40^{3/2}-13^{3/2}\Big).
Escrevendo de forma mais simples usando raízes:
40^{3/2}=(\sqrt{40})^{3}=(2\sqrt{10})^{3}=80\sqrt{10},\qquad 13^{3/2}=13\sqrt{13}.
Assim a forma exata é
L=\frac{1}{27}\big(80\sqrt{10}-13\sqrt{13}\big).

Passo 8

Cálculo aproximado para ter um número prático. Usando \sqrt{10}\approx3,162277660 e \sqrt{13}\approx3,605551275,
80\sqrt{10}\approx252,9822128,\qquad 13\sqrt{13}\approx46,8721666,
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80\sqrt{10}-13\sqrt{13}\approx206,1100462
e dividindo por 27,
L\approx7,6337054.

Resposta

\displaystyle L=\frac{1}{27}\big(80\sqrt{10}-13\sqrt{13}\big)\approx7,6337

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