Calcule o comprimento de arco das curvas abainco:
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco da curva dada por
no intervalo
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- Função:
. - Intervalo de integração:
. - Pedido: calcular o comprimento de arco da curva entre
e .
Passo 2
Vamos usar a fórmula do comprimento de arco para uma curva dada por
,
. A fórmula é
Explicando:
é a derivada de
em relação a
(a taxa de variação instantânea da função). A expressão
aparece porque, ao aproximar o arco por pequenos segmentos retos, o comprimento desses segmentos é
e, ao passar ao limite, obtemos a integral acima.
Passo 3
Calculo a derivada
da função
. Para potências
. Assim,
Aqui
.
Passo 4
Agora calculemos o integrando
. Primeiro elevando ao quadrado:
Somando 1:
A raiz quadrada fica
Passo 5
Substituindo na fórmula do comprimento de arco:
Passo 6
Para calcular a integral use substituição linear. Tome
. Então
e
. Mudando limites: quando
tem
; quando
tem
. Assim
Passo 7
Integro
:
. Portanto
Escrevendo de forma mais simples usando raízes:
Assim a forma exata é
Passo 8
Cálculo aproximado para ter um número prático. Usando
e
,
logo
e dividindo por
,