Calcule o comprimento de arco das curvas dadas por:
y=\ln \left(1-x^{2}\right), 0 \leq x \leq 1 / 2

Passo 1

O enunciado dá a curva y=\ln\!\left(1-x^{2}\right) no intervalo 0\le x\le \tfrac{1}{2} e pede o comprimento de arco dessa curva entre os pontos correspondentes a x=0 e x=\tfrac{1}{2}.
Informações relevantes:
  • Função: y=\ln\!\left(1-x^{2}\right).
  • Intervalo de integração: x\in\bigl[0,\tfrac{1}{2}\bigr].
  • O que se pede: calcular o comprimento de arco da curva nesse intervalo (um único número).

Passo 2

Recordando a fórmula do comprimento de arco para uma curva dada por y=f(x) suave no intervalo [a,b]:
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
Explicando essa fórmula de forma bem direta: f'(x) é a derivada da função, que dá a inclinação da curva em cada ponto; o integrando \sqrt{1+(f'(x))^{2}} mede o alongamento infinitesimal do arco em relação a dx. Aqui a=0 e b=\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Calculamos a derivada y'=f'(x). Para y=\ln\!\left(1-x^{2}\right) usamos a regra da cadeia: a derivada de \ln(u) é u'/u, com u=1-x^{2} e u'=-2x. Portanto
y'=\frac{-2x}{1-x^{2}}.
Agora calculamos \bigl(y'\bigr)^{2}:
\bigl(y'\bigr)^{2}=\frac{4x^{2}}{(1-x^{2})^{2}}.

Passo 4

Substituímos em 1+(y')^{2} e simplificamos cuidadosamente:
1+\bigl(y'\bigr)^{2}=1+\frac{4x^{2}}{(1-x^{2})^{2}} =\frac{(1-x^{2})^{2}+4x^{2}}{(1-x^{2})^{2}}.
Desenvolvendo o numerador:
(1-x^{2})^{2}+4x^{2}=1-2x^{2}+x^{4}+4x^{2}=1+2x^{2}+x^{4}=(1+x^{2})^{2}.
Logo
1+\bigl(y'\bigr)^{2}=\frac{(1+x^{2})^{2}}{(1-x^{2})^{2}}.
Como estamos em 0\le x\le \tfrac{1}{2}, temos 1-x^{2}>0, então a raiz quadrada positiva é
\sqrt{1+\bigl(y'\bigr)^{2}}=\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}.

Passo 5

Assim o comprimento de arco fica
L=\int_{0}^{1/2}\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}\,dx.
Para integrar, fazemos uma separação útil. Observe que
\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}=-1+\frac{2}{1-x^{2}}.
Verificação rápida: -1+\dfrac{2}{1-x^{2}}=\dfrac{-1(1-x^{2})+2}{1-x^{2}}=\dfrac{1+x^{2}}{1-x^{2}}. Então
L=\int_{0}^{1/2}\left(-1+\frac{2}{1-x^{2}}\right)dx =\int_{0}^{1/2}(-1)\,dx+2\int_{0}^{1/2}\frac{1}{1-x^{2}}\,dx.

Passo 6

Integramos cada termo. A primitiva de -1 é -x. Para \dfrac{1}{1-x^{2}} usamos frações parciais padrão:
\frac{1}{1-x^{2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}\right),
cuja primitiva é
\int\frac{1}{1-x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\bigl(-\ln(1-x)+\ln(1+x)\bigr)=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right).
Multiplicando por 2 (porque temos o fator 2 lá em cima) obtemos a primitiva completa do segundo termo como
2\cdot\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right).
Portanto uma primitiva para o integrando \dfrac{1+x^{2}}{1-x^{2}} é
F(x)=-x+\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right).

Passo 7

Avaliamo-la entre 0 e \tfrac{1}{2}:
L=F\!\left(\tfrac{1}{2}\right)-F(0).
Calcule F\!\left(\tfrac{1}{2}\right):
F\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\tfrac{1}{2}+\ln\!\left(\frac{1+\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}\right) =-\tfrac{1}{2}+\ln\!\left(\frac{3/2}{1/2}\right) =-\tfrac{1}{2}+\ln 3.
Calcule F(0):
F(0)=0+\ln\!\left(\frac{1+0}{1-0}\right)=\ln 1=0.
Portanto
L=-\tfrac{1}{2}+\ln 3.

Resposta

\ln 3-\tfrac{1}{2}

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