Calcule o comprimento de arco das curvas dadas por:
Passo 1
O enunciado dá a curva
no intervalo
e pede o comprimento de arco dessa curva entre os pontos correspondentes a
e
.
Informações relevantes:
- Função:
. - Intervalo de integração:
. - O que se pede: calcular o comprimento de arco da curva nesse intervalo (um único número).
Passo 2
Recordando a fórmula do comprimento de arco para uma curva dada por
suave no intervalo
:
Explicando essa fórmula de forma bem direta:
é a derivada da função, que dá a inclinação da curva em cada ponto; o integrando
mede o alongamento infinitesimal do arco em relação a
. Aqui
e
.
Passo 3
Calculamos a derivada
. Para
usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
, com
e
. Portanto
Agora calculamos
:
Passo 4
Substituímos em
e simplificamos cuidadosamente:
Desenvolvendo o numerador:
Logo
Como estamos em
, temos
, então a raiz quadrada positiva é
Passo 5
Assim o comprimento de arco fica
Para integrar, fazemos uma separação útil. Observe que
Verificação rápida:
. Então
Passo 6
Integramos cada termo. A primitiva de
é
. Para
usamos frações parciais padrão:
cuja primitiva é
Multiplicando por
(porque temos o fator
lá em cima) obtemos a primitiva completa do segundo termo como
Portanto uma primitiva para o integrando
é
Passo 7
Avaliamo-la entre
e
:
Calcule
:
Calcule
:
Portanto