Esboce a região englobada pelas curvas e encontre a área.
28-y-5 x=0, x-y-2=0, y= 2 x, y=0

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região englobada (fechada) pelas curvas e encontrar a área dessa região. As curvas dadas são (vou escrever cada uma isoladamente):
28 - y - 5x = 0,\qquad x - y - 2 = 0,\qquad y = 2x,\qquad y = 0.
Lista das informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A primeira equação pode ser escrita como \;y = 28 - 5x\;.
  • A segunda equação pode ser escrita como \;y = x - 2\;.
  • As outras duas já estão explícitas: \;y = 2x\; e \;y = 0.
  • Precisamos determinar a região fechada cujas fronteiras são partes dessas quatro retas e calcular a área dessa região.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção entre as retas é o primeiro passo para desenhar o esboço e identificar os trechos que formam a fronteira. Vou resolver as equações duas a duas (cada passo com as contas):
Interseção entre \;y=0\; e \;y=2x\;:
0 = 2x \quad\Rightarrow\quad x=0 \quad\Rightarrow\quad (0,0).
Interseção entre \;y=0\; e \;y=x-2\;:
0 = x-2 \quad\Rightarrow\quad x=2 \quad\Rightarrow\quad (2,0).
Interseção entre \;y=0\; e \;y=28-5x\;:
0 = 28-5x \quad\Rightarrow\quad x=\frac{28}{5}=5{,}6 \quad\Rightarrow\quad \left(\tfrac{28}{5},0\right).
Interseção entre \;y=2x\; e \;y=x-2\;:
2x = x-2 \quad\Rightarrow\quad x=-2 \quad\Rightarrow\quad (-2,-4).
Interseção entre \;y=2x\; e \;y=28-5x\;:
2x = 28-5x \quad\Rightarrow\quad 7x=28 \quad\Rightarrow\quad x=4 \quad\Rightarrow\quad (4,8).
Interseção entre \;y=x-2\; e \;y=28-5x\;:
x-2 = 28-5x \quad\Rightarrow\quad 6x=30 \quad\Rightarrow\quad x=5 \quad\Rightarrow\quad (5,3).
Resumo dos pontos de interseção encontrados:
(0,0),\\ (2,0),\\ \left(\tfrac{28}{5},0\right),\\ (-2,-4),\\ (4,8),\\ (5,3).

Passo 3

Agora vamos entender quais desses pontos formam a região fechada pedida. Fazer um esboço mental/rápido ajuda bastante:
  • \;y=0\; é o eixo x.
  • \;y=2x\; passa por (0,0) e sobe rápido (inclinação 2).
  • \;y=x-2\; cruza o eixo em (2,0) e está abaixo de \;y=2x\; para x>-2.
  • \;y=28-5x\; é decrescente, corta \;y=2x\; em (4,8) e \;y=x-2\; em (5,3), e corta o eixo x em \left(\tfrac{28}{5},0\right).
Traçando as interseções em ordem ao contornar a região percebe-se um polígono fechado cujos vértices, seguindo uma volta no sentido horário, são:
(0,0) \xrightarrow{\;y=2x\;} (4,8) \xrightarrow{\;y=28-5x\;} (5,3) \xrightarrow{\;y=x-2\;} (2,0) \xrightarrow{\;y=0\;} (0,0).
Ou seja, a fronteira da região é composta pelos seguintes trechos:
  • de x=0 até x=4 pela reta \;y=2x\; (trecho superior para 0\le x\le4),
  • de x=4 até x=5 pela reta \;y=28-5x\; (trecho superior para 4\le x\le5),
  • de x=5 até x=2 descendo pela reta \;y=x-2\; (trecho inferior para 2\le x\le5),
  • de x=2 até x=0 pela reta \;y=0\; (trecho inferior para 0\le x\le2).
Isso mostra que a região é atingida por “fatias verticais” para x de 0 até 5, mas com o limite inferior mudando em x=2 e o limite superior mudando em x=4. Portanto teremos que calcular a área por partes.

Passo 4

Método escolhido: integração por fatias verticais (integrar em x). Explicação didática do método (aulasinha rápida):
  • Se uma região é limitada acima por uma função \;y=y_{\text{top}}(x)\; e abaixo por \;y=y_{\text{bot}}(x)\; em um intervalo \;a\le x\le b\;, a área é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)\bigr)\,dx.Á
  • Quando a fronteira muda (ou seja, top ou bot é definida por curvas diferentes em subintervalos), dividimos o intervalo [a,b] em subintervalos e somamos as integrais em cada parte.
  • Aqui vamos usar exatamente isso: dividir [0,5] em três subintervalos onde os limites são fáceis de identificar.

Passo 5

Determinar os subintervalos e as expressões top/bot em cada um:
  • Para \;0\le x\le 2: a fronteira superior é \;y=2x\; e a inferior é \;y=0\;. (Porque entre 0 e 2 a reta \;y=x-2\; está abaixo do eixo e não participa.)
  • Para \;2\le x\le 4: a fronteira superior permanece \;y=2x\; e a inferior passa a ser \;y=x-2\; (pois \;y=x-2\; já está acima do eixo para x\ge2 e forma a borda inferior do polígono).
  • Para \;4\le x\le 5: a fronteira superior é \;y=28-5x\; (pois ela cruza com \;y=2x\; em x=4 e fica abaixo para x>4), e a inferior continua sendo \;y=x-2\; até x=5 onde se encontram.
Logo a área será a soma de três integrais:
\text{Área}=\int_{0}^{2} (2x-0)\,dx \;+\; \int_{2}^{4} \bigl(2x-(x-2)\bigr)\,dx \;+\; \int_{4}^{5} \bigl((28-5x)-(x-2)\bigr)\,dx.Á

Passo 6

Agora calculo cada integral passo a passo, mostrando anti-derivadas e contas:
Primeira integral:
\int_{0}^{2} 2x\,dx = \left[x^{2}\right]_{0}^{2} = 2^{2}-0^{2}=4.
Segunda integral (simplificando a função integranda antes):
2x-(x-2)=2x-x+2=x+2,
então
\int_{2}^{4} (x+2)\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}+2x\right]_{2}^{4} = \Bigl(\frac{4^{2}}{2}+2\cdot4\Bigr) - \Bigl(\frac{2^{2}}{2}+2\cdot2\Bigr).
Calculemos:
\frac{4^{2}}{2}+2\cdot4 = \frac{16}{2}+8 = 8+8=16,
\frac{2^{2}}{2}+2\cdot2 = \frac{4}{2}+4 = 2+4=6,
logo a segunda integral vale 16-6=10.
Terceira integral (simplificando a integranda):
(28-5x)-(x-2)=28-5x-x+2=30-6x,
então
\int_{4}^{5} (30-6x)\,dx = \left[30x-3x^{2}\right]_{4}^{5}.
Agora os valores:
30\cdot5-3\cdot5^{2}=150-75=75,
30\cdot4-3\cdot4^{2}=120-48=72,
diferença 75-72=3.

Passo 7

Somando as três parcelas para obter a área total:
\text{Área} = 4 + 10 + 3 = 17.Á
Interpretação rápida: a região fechada tem área \;17\; (unidades quadradas, de acordo com as unidades do sistema de coordenadas usado).

Resposta

\text{Área}=17Á

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