Esboce a região englobada pelas curvas e encontre a área.
28-y-5 x=0, x-y-2=0, y= 2 x, y=0
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região englobada (fechada) pelas curvas e encontrar a área dessa região. As curvas dadas são (vou escrever cada uma isoladamente):
28 - y - 5x = 0,\qquad x - y - 2 = 0,\qquad y = 2x,\qquad y = 0.
Lista das informações relevantes extraídas do enunciado:
A primeira equação pode ser escrita como \;y = 28 - 5x\;.
A segunda equação pode ser escrita como \;y = x - 2\;.
As outras duas já estão explícitas: \;y = 2x\; e \;y = 0.
Precisamos determinar a região fechada cujas fronteiras são partes dessas quatro retas e calcular a área dessa região.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção entre as retas é o primeiro passo para desenhar o esboço e identificar os trechos que formam a fronteira. Vou resolver as equações duas a duas (cada passo com as contas):
Ou seja, a fronteira da região é composta pelos seguintes trechos:
de x=0 até x=4 pela reta \;y=2x\; (trecho superior para 0\le x\le4),
de x=4 até x=5 pela reta \;y=28-5x\; (trecho superior para 4\le x\le5),
de x=5 até x=2 descendo pela reta \;y=x-2\; (trecho inferior para 2\le x\le5),
de x=2 até x=0 pela reta \;y=0\; (trecho inferior para 0\le x\le2).
Isso mostra que a região é atingida por “fatias verticais” para x de 0 até 5, mas com o limite inferior mudando em x=2 e o limite superior mudando em x=4. Portanto teremos que calcular a área por partes.
Passo 4
Método escolhido: integração por fatias verticais (integrar em x). Explicação didática do método (aulasinha rápida):
Se uma região é limitada acima por uma função \;y=y_{\text{top}}(x)\; e abaixo por \;y=y_{\text{bot}}(x)\; em um intervalo \;a\le x\le b\;, a área é
Quando a fronteira muda (ou seja, top ou bot é definida por curvas diferentes em subintervalos), dividimos o intervalo [a,b] em subintervalos e somamos as integrais em cada parte.
Aqui vamos usar exatamente isso: dividir [0,5] em três subintervalos onde os limites são fáceis de identificar.
Passo 5
Determinar os subintervalos e as expressões top/bot em cada um:
Para \;0\le x\le 2: a fronteira superior é \;y=2x\; e a inferior é \;y=0\;. (Porque entre 0 e 2 a reta \;y=x-2\; está abaixo do eixo e não participa.)
Para \;2\le x\le 4: a fronteira superior permanece \;y=2x\; e a inferior passa a ser \;y=x-2\; (pois \;y=x-2\; já está acima do eixo para x\ge2 e forma a borda inferior do polígono).
Para \;4\le x\le 5: a fronteira superior é \;y=28-5x\; (pois ela cruza com \;y=2x\; em x=4 e fica abaixo para x>4), e a inferior continua sendo \;y=x-2\; até x=5 onde se encontram.