Esboce a região englobada pelas curvas e encontre a área.
y=-x^{2}+9, y=3-x

Passo 1

O enunciado dá duas curvas e pede duas coisas: esboçar a região que elas englobam e calcular a área dessa região. As informações fornecidas são:
  • A parábola y=-x^{2}+9.
  • A reta y=3-x.
    As perguntas do enunciado são:
  • Esboçar (desenhar a mão/mentalmente) a região limitada por essas duas curvas.
  • Encontrar a área da região limitada por elas.

Passo 2

Primeiro precisamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas, porque eles vão definir os limites horizontais da região limitada. Para isso igualamos as duas funções:
-x^{2}+9 = 3 - x.
Vamos resolver essa equação passo a passo. Colocando tudo em um lado:
-x^{2}+9 - 3 + x = 0.
Simplificando os termos constantes:
-x^{2} + x + 6 = 0.
Multiplicando por -1 para facilitar a fatoração:
x^{2} - x - 6 = 0.
Fatora-se o polinômio:
x^{2} - x - 6 = (x-3)(x+2).
Portanto as raízes (valores de x onde as curvas se cruzam) são
x=3 \quad\text{e}\quad x=-2.
Os pontos de interseção são, então, \bigl(-2,\,y(-2)\bigr) e \bigl(3,\,y(3)\bigr). Podemos calcular as ordenadas substituindo em qualquer das duas curvas; por exemplo na reta y=3-x:
y(-2)=3-(-2)=5,\qquad y(3)=3-3=0.
Logo os pontos de interseção são (-2,5) e (3,0).

Passo 3

Antes de integrar, é preciso saber qual curva está acima da outra entre x=-2 e x=3, para usar a fórmula “topo menos baixo”. Uma maneira simples é testar um ponto entre os extremos, por exemplo x=0.
Avaliar em x=0:
\text{parábola: } y(0)=-0^{2}+9=9, \qquad \text{reta: } y(0)=3-0=3.á
Como 9>3, a parábola y=-x^{2}+9 está acima da reta y=3-x no intervalo entre as interseções. Portanto, a altura da região em cada x\in[-2,3] é
\text{altura}(x)=\bigl(-x^{2}+9\bigr)-\bigl(3-x\bigr).

Passo 4

A fórmula padrão para a área A entre duas curvas y_{\text{top}} e y_{\text{bot}} de x=a até x=b é
A=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)\bigr)\,dx.
Aqui a=-2, b=3, y_{\text{top}}(x)=-x^{2}+9 e y_{\text{bot}}(x)=3-x. Substituindo:
A=\int_{-2}^{3}\Bigl[\bigl(-x^{2}+9\bigr)-\bigl(3-x\bigr)\Bigr]\,dx.

Passo 5

Simplificamos o integrando antes de integrar:
\bigl(-x^{2}+9\bigr)-\bigl(3-x\bigr) = -x^{2}+9-3+x = -x^{2}+x+6.
Assim
A=\int_{-2}^{3}\bigl(-x^{2}+x+6\bigr)\,dx.

Passo 6

Agora calculamos a antiderivada termo a termo. Recordando as integrais básicas:
\int -x^{2}\,dx = -\frac{x^{3}}{3},\qquad \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},\qquad \int 6\,dx = 6x.
Logo uma primitiva para o integrando é
F(x)=-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+6x.
Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo e avaliamos de -2 a 3:
A=F(3)-F(-2).

Passo 7

Calculemos F(3) e F(-2) separadamente, com conta exata em frações.
Para x=3:
F(3) = -\frac{3^{3}}{3} + \frac{3^{2}}{2} + 6\cdot 3 = -\frac{27}{3} + \frac{9}{2} + 18 = -9 + \frac{9}{2} + 18.
Juntando termos:
-9+18=9,\quad 9+\frac{9}{2}=\frac{18}{2}+\frac{9}{2}=\frac{27}{2}.
Portanto
F(3)=\frac{27}{2}.
Para x=-2:
F(-2) = -\frac{(-2)^{3}}{3} + \frac{(-2)^{2}}{2} + 6\cdot(-2) = -\frac{-8}{3} + \frac{4}{2} -12 = \frac{8}{3} + 2 -12.
Juntando 2-12=-10, então
F(-2)=\frac{8}{3}-10 = \frac{8}{3}-\frac{30}{3} = -\frac{22}{3}.
Agora a diferença:
A = F(3)-F(-2) = \frac{27}{2} -\biggl(-\frac{22}{3}\biggr) = \frac{27}{2}+\frac{22}{3}.
Para somar as frações, usamos o denominador comum 6:
\frac{27}{2}=\frac{81}{6},\qquad \frac{22}{3}=\frac{44}{6}.
Assim
A=\frac{81}{6}+\frac{44}{6}=\frac{125}{6}.

Passo 8

Para esboçar a região (instruções passo a passo para desenhar à mão):
  • Desenhe os eixos x e y.
  • Desenhe a parábola y=-x^{2}+9: ela tem vértice em (0,9) e cruza o eixo x em x=\pm 3 (pois -x^{2}+9=0 x=\pm3); é uma parábola para baixo.
  • Desenhe a reta y=3-x: intercepta o eixo y em y=3 e tem declive -1 (desce um para a direita).
  • Marque os pontos de interseção que calculamos: (-2,5) e (3,0).
  • A região limitada está entre essas duas curvas, para x de -2 até 3, com a parábola acima e a reta abaixo; é uma “fatia” entre a parábola e a reta, fechada nos dois extremos pelos pontos de interseção. Sombreie essa região.

Resposta

\displaystyle \frac{125}{6}

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