Esboce a região englobada pelas curvas e encontre a área.
Passo 1
O enunciado dá duas curvas e pede duas coisas: esboçar a região que elas englobam e calcular a área dessa região. As informações fornecidas são:
- A parábola
. - A reta
.
As perguntas do enunciado são: - Esboçar (desenhar a mão/mentalmente) a região limitada por essas duas curvas.
- Encontrar a área da região limitada por elas.
Passo 2
Primeiro precisamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas, porque eles vão definir os limites horizontais da região limitada. Para isso igualamos as duas funções:
Vamos resolver essa equação passo a passo. Colocando tudo em um lado:
Simplificando os termos constantes:
Multiplicando por
para facilitar a fatoração:
Fatora-se o polinômio:
Portanto as raízes (valores de
onde as curvas se cruzam) são
Os pontos de interseção são, então,
e
. Podemos calcular as ordenadas substituindo em qualquer das duas curvas; por exemplo na reta
:
Logo os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Antes de integrar, é preciso saber qual curva está acima da outra entre
e
, para usar a fórmula “topo menos baixo”. Uma maneira simples é testar um ponto entre os extremos, por exemplo
.
Avaliar em
:
Como
, a parábola
está acima da reta
no intervalo entre as interseções. Portanto, a altura da região em cada
é
Passo 4
A fórmula padrão para a área
entre duas curvas
e
de
até
é
Aqui
,
,
e
. Substituindo:
Passo 5
Simplificamos o integrando antes de integrar:
Assim
Passo 6
Agora calculamos a antiderivada termo a termo. Recordando as integrais básicas:
Logo uma primitiva para o integrando é
Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo e avaliamos de
a
:
Passo 7
Calculemos
e
separadamente, com conta exata em frações.
Para
:
Juntando termos:
Portanto
Para
:
Juntando
, então
Agora a diferença:
Para somar as frações, usamos o denominador comum
:
Assim
Passo 8
Para esboçar a região (instruções passo a passo para desenhar à mão):
- Desenhe os eixos
e . - Desenhe a parábola
: ela tem vértice em e cruza o eixo em (pois dá ); é uma parábola para baixo. - Desenhe a reta
: intercepta o eixo em e tem declive (desce um para a direita). - Marque os pontos de interseção que calculamos:
e . - A região limitada está entre essas duas curvas, para
de até , com a parábola acima e a reta abaixo; é uma “fatia” entre a parábola e a reta, fechada nos dois extremos pelos pontos de interseção. Sombreie essa região.