- Calcule o comprimento da circunferência de raio
:
. Interprete o resultado obtido.
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
no intervalo
e pede para calcular o comprimento da circunferência de raio
. Informações relevantes fornecidas:
- A parametrização é
para . - O intervalo de parâmetro é
. - O que se pede: o comprimento (comprimento de arco) da curva dada.
Observação: o enunciado chamade raio; presumir que faz sentido geométrico, mas durante o cálculo aparece naturalmente o valor absoluto .
Passo 2
Regra que vou usar (explicada de maneira simples): o comprimento de arco de uma curva parametrizada por
, com
em
e
diferenciável, é dado pela integral da velocidade:
Por que isso? Imagine dividir o intervalo
em muitos pedaços pequenos: o segmento de curva entre
e
tem comprimento aproximado por
. Somando esses comprimentos e fazendo o limite (passando para soma de Riemann) chega-se à integral acima. Essa é a fórmula padrão para comprimento de curvas paramétricas.
Passo 3
Calcular a derivada
componente a componente. Como
, usando que
e
, obtemos:
Passo 4
Calcular a norma (velocidade)
. Isso é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes:
Fatorando
dentro da raiz e usando
, obtemos
Portanto a velocidade é constante e igual a
. Se
isso é simplesmente
. Se
a curva é um ponto e a velocidade é
.
Passo 5
Aplicar a fórmula do comprimento com
e
:
Se assumirmos que
é o raio positivo usual (
), então isso dá
. Se
,
.
Passo 6
Interpretação do resultado (de forma direta e útil para prova):
- O comprimento calculado
é exatamente a fórmula clássica da circunferência de raio : o perímetro de um círculo cresce linearmente com o raio e a constante de proporcionalidade é . - A parametrização dada tem velocidade constante
, ou seja, o parâmetro percorre a circunferência com velocidade constante; quando a velocidade é e o parâmetro está relacionado ao comprimento por (mais precisamente até uma constante), então é proporcional ao comprimento de arco. - Orientação: para
a curva percorre a circunferência no sentido anti-horário, pois em temos e apontando para cima.