1. Calcule o comprimento da circunferência de raio a : \alpha(t)=(a \cos t, a \sin t), 0 \leq t \leq 2 \pi. Interprete o resultado obtido.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada \alpha(t)=(a\cos t,\;a\sin t) no intervalo 0\le t\le 2\pi e pede para calcular o comprimento da circunferência de raio a. Informações relevantes fornecidas:
  • A parametrização é \alpha(t)=(a\cos t,\;a\sin t) para t\in[0,2\pi].
  • O intervalo de parâmetro é 0\le t\le 2\pi.
  • O que se pede: o comprimento (comprimento de arco) da curva dada.
    Observação: o enunciado chama a de raio; presumir que a\ge 0 faz sentido geométrico, mas durante o cálculo aparece naturalmente o valor absoluto |a|.

Passo 2

Regra que vou usar (explicada de maneira simples): o comprimento de arco de uma curva parametrizada por \alpha(t)=(x(t),y(t)), com t em [t_0,t_1] e \alpha diferenciável, é dado pela integral da velocidade:
L=\int_{t_0}^{t_1}\|\alpha'(t)\|\,dt.
Por que isso? Imagine dividir o intervalo [t_0,t_1] em muitos pedaços pequenos: o segmento de curva entre t e t+\Delta t tem comprimento aproximado por \|\alpha'(t)\|\Delta t. Somando esses comprimentos e fazendo o limite (passando para soma de Riemann) chega-se à integral acima. Essa é a fórmula padrão para comprimento de curvas paramétricas.

Passo 3

Calcular a derivada \alpha'(t) componente a componente. Como \alpha(t)=(a\cos t,\;a\sin t), usando que \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t e \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t, obtemos:
\alpha'(t)=\bigl(-a\sin t,\;a\cos t\bigr).

Passo 4

Calcular a norma (velocidade) \|\alpha'(t)\|. Isso é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes:
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{(-a\sin t)^2+(a\cos t)^2} =\sqrt{a^2\sin^2 t+a^2\cos^2 t}.
Fatorando a^2 dentro da raiz e usando \sin^2 t+\cos^2 t=1, obtemos
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{a^2\cdot 1}=\sqrt{a^2}=|a|.
Portanto a velocidade é constante e igual a |a|. Se a>0 isso é simplesmente a. Se a=0 a curva é um ponto e a velocidade é 0.

Passo 5

Aplicar a fórmula do comprimento com t_0=0 e t_1=2\pi:
L=\int_{0}^{2\pi}\|\alpha'(t)\|\,dt=\int_{0}^{2\pi}|a|\,dt=|a|\int_{0}^{2\pi}dt=|a|\cdot(2\pi)=2\pi|a|.
Se assumirmos que a é o raio positivo usual ( a>0), então isso dá L=2\pi a. Se a=0, L=0.

Passo 6

Interpretação do resultado (de forma direta e útil para prova):
  • O comprimento calculado 2\pi a é exatamente a fórmula clássica da circunferência de raio a: o perímetro de um círculo cresce linearmente com o raio e a constante de proporcionalidade é 2\pi.
  • A parametrização dada tem velocidade constante |a|, ou seja, o parâmetro t percorre a circunferência com velocidade constante; quando a>0 a velocidade é a e o parâmetro está relacionado ao comprimento por s=a t (mais precisamente s(t)=a t até uma constante), então t é proporcional ao comprimento de arco.
  • Orientação: para a>0 a curva percorre a circunferência no sentido anti-horário, pois em t=0 temos \alpha(0)=(a,0) e \alpha'(0)=(0,a) apontando para cima.

Resposta

\,2\pi a\,

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