- Considere a curva
:
(a) Calcule
e determine o vetor tangente em
.
(b) Verifique se a curva é regular em todo o seu domínio.
(a) Calcule
(b) Verifique se a curva é regular em todo o seu domínio.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva
. As perguntas são:
(a) Calcular e determinar o vetor tangente em
.
(b) Verificar se a curva é regular em todo o seu domínio.
(a) Calcular
(b) Verificar se a curva é regular em todo o seu domínio.
Informações relevantes fornecidas:
- A curva está dada por coordenadas paramétricas
com e . - O domínio implícito, salvo indicação contrária, é o conjunto de todos os números reais
.
Passo 2
O que significa derivar uma curva e qual é o vetor tangente?
Quando temos uma curva parametrizada
, a derivada
é obtida derivando-se cada componente em relação a
. Ou seja, a derivada é feita componente a componente e fornece o vetor velocidade da curva naquele parâmetro
. Esse vetor velocidade é exatamente o vetor tangente (direção e sentido da curva) no ponto correspondente ao parâmetro.
Em notação:
Passo 3
Calcular
aplicando a regra componente a componente.
Temos
e
. Derivando cada uma:
Portanto
Passo 4
Determinar o vetor tangente em
avaliando
em
.
Substituindo
em
:
Esse vetor
é a direção (com sentido e magnitude) da tangente à curva no ponto
.
Passo 5
O que significa a curva ser regular e como verificar isso aqui?
Uma curva parametrizada
é dita regular num ponto
se a sua derivada naquele ponto é um vetor não nulo. A curva é regular em todo o seu domínio se
para todo
do domínio.
Para verificar, calculemos a norma (módulo) de
. A norma eu obtenho com a fórmula usual em
:
Passo 6
Calcular a norma de
e mostrar que nunca é zero.
Usando
:
Para todo
temos
, logo
. Portanto
Como a norma é estritamente positiva para todo
, o vetor
nunca é o vetor nulo. Logo a curva é regular em todo o seu domínio (
).
Resposta
(a)
. Vetor tangente em
:
.
(b) Sim. A curva é regular em todo o domínio, pois
para todo
.