1. Considere a curva \alpha(t)=\left(t, t^{2}\right) :
    (a) Calcule \alpha^{\prime}(t) e determine o vetor tangente em t=2.
    (b) Verifique se a curva é regular em todo o seu domínio.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva \alpha(t)=\left(t,t^{2}\right). As perguntas são:
(a) Calcular \alpha^{\prime}(t) e determinar o vetor tangente em t=2.
(b) Verificar se a curva é regular em todo o seu domínio.
Informações relevantes fornecidas:
  • A curva está dada por coordenadas paramétricas \alpha(t)=(x(t),y(t)) com x(t)=t e y(t)=t^{2}.
  • O domínio implícito, salvo indicação contrária, é o conjunto de todos os números reais \mathbb{R}.

Passo 2

O que significa derivar uma curva e qual é o vetor tangente?
Quando temos uma curva parametrizada \alpha(t)=(x(t),y(t)), a derivada \alpha^{\prime}(t) é obtida derivando-se cada componente em relação a t. Ou seja, a derivada é feita componente a componente e fornece o vetor velocidade da curva naquele parâmetro t. Esse vetor velocidade é exatamente o vetor tangente (direção e sentido da curva) no ponto correspondente ao parâmetro.
Em notação:
\alpha(t)=(x(t),y(t))\quad\Rightarrow\quad \alpha^{\prime}(t)=\bigl(x^{\prime}(t),\,y^{\prime}(t)\bigr).

Passo 3

Calcular \alpha^{\prime}(t) aplicando a regra componente a componente.
Temos x(t)=t e y(t)=t^{2}. Derivando cada uma:
x^{\prime}(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t\bigr)=1, \qquad y^{\prime}(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)=2t.
Portanto
\alpha^{\prime}(t)=\bigl(1,\,2t\bigr).

Passo 4

Determinar o vetor tangente em t=2 avaliando \alpha^{\prime}(t) em t=2.
Substituindo t=2 em \alpha^{\prime}(t):
\alpha^{\prime}(2)=\bigl(1,\,2\cdot 2\bigr)=\bigl(1,\,4\bigr).
Esse vetor \bigl(1,4\bigr) é a direção (com sentido e magnitude) da tangente à curva no ponto \alpha(2)=\bigl(2,\,4\bigr).

Passo 5

O que significa a curva ser regular e como verificar isso aqui?
Uma curva parametrizada \alpha(t) é dita regular num ponto t se a sua derivada naquele ponto é um vetor não nulo. A curva é regular em todo o seu domínio se \alpha^{\prime}(t)\neq 0 para todo t do domínio.
Para verificar, calculemos a norma (módulo) de \alpha^{\prime}(t). A norma eu obtenho com a fórmula usual em \mathbb{R}^{2}:
\|\alpha^{\prime}(t)\|=\sqrt{\bigl(x^{\prime}(t)\bigr)^{2}+\bigl(y^{\prime}(t)\bigr)^{2}}.

Passo 6

Calcular a norma de \alpha^{\prime}(t) e mostrar que nunca é zero.
Usando \alpha^{\prime}(t)=\bigl(1,\,2t\bigr):
\|\alpha^{\prime}(t)\|=\sqrt{1^{2}+(2t)^{2}}=\sqrt{1+4t^{2}}.
Para todo t\in\mathbb{R} temos 4t^{2}\ge 0, logo 1+4t^{2}\ge 1. Portanto
\|\alpha^{\prime}(t)\|=\sqrt{1+4t^{2}}\ge \sqrt{1}=1>0.
Como a norma é estritamente positiva para todo t, o vetor \alpha^{\prime}(t) nunca é o vetor nulo. Logo a curva é regular em todo o seu domínio ( \mathbb{R}).

Resposta

(a) \alpha^{\prime}(t)=\bigl(1,\,2t\bigr). Vetor tangente em t=2: \alpha^{\prime}(2)=\bigl(1,\,4\bigr).
(b) Sim. A curva é regular em todo o domínio, pois \|\alpha^{\prime}(t)\|=\sqrt{1+4t^{2}}>0 para todo t\in\mathbb{R}.

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