1. Determine todos os pontos onde a curva \alpha(t)=\left(t^{2}, t^{3}\right) não é regular.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica \alpha(t) = \left(t^{2},\,t^{3}\right) e pede: determinar todos os pontos onde a curva não é regular.
Informações relevantes que temos:
  • A variável de parâmetro é t (domínio usualmente \mathbb{R}, não especificado, mas assumido).
  • A curva é um mapeamento de \mathbb{R} em \mathbb{R}^{2} dado pelas componentes x(t)=t^{2} e y(t)=t^{3}.
  • O que precisa ser encontrado: os valores de t (e, se for útil, os pontos \alpha(t) no plano) em que a curva não é regular.

Passo 2

Definição e ideia principal (explicando sem pular etapas).
  • Uma curva paramétrica \alpha(t) é dita regular num parâmetro t_{0} se a derivada (velocidade) \alpha'(t_{0}) não for o vetor nulo. Em símbolos: \alpha'(t_{0}) \neq (0,0).
  • Se \alpha'(t_{0}) = (0,0), dizemos que a curva não é regular em t_{0} (às vezes chamamos de ponto singular ou crítico).
  • Portanto, o procedimento é: calcular \alpha'(t), resolver \alpha'(t)=(0,0) e listar os t (e os pontos correspondentes) que satisfazem isso.

Passo 3

Como calcular a derivada de uma curva vetorial (relembrando regras básicas).
  • A derivada de uma curva definida por componentes faz-se componente a componente. Se \alpha(t) = \big(x(t),y(t)\big), então \alpha'(t) = \big(x'(t),y'(t)\big).
  • Regra do poder: para t^{n} a derivada é n t^{n-1}. Vou aplicar isso às componentes x(t)=t^{2} e y(t)=t^{3}.

Passo 4

Calcular explicitamente \alpha'(t).
  • Derivada da primeira componente: x'(t) = \dfrac{d}{dt}\big(t^{2}\big) = 2t.
  • Derivada da segunda componente: y'(t) = \dfrac{d}{dt}\big(t^{3}\big) = 3t^{2}.
    Assim,
\alpha'(t) = \big(2t,\;3t^{2}\big).

Passo 5

Resolver a condição de não regularidade \alpha'(t) = (0,0).
  • Igualando componente a componente: 2t = 0 e 3t^{2} = 0.
  • Da primeira equação vem t=0. Da segunda equação vem t^{2}=0, o que também dá t=0.
  • Logo, a única solução é t=0. Não há outro t que anule simultaneamente ambas as componentes.

Passo 6

Determinar o ponto no plano correspondente e comentar geometricamente (didático e motivador).
  • O ponto correspondente é \alpha(0)=\big(0^{2},0^{3}\big)=(0,0).
  • Conclusão: a curva não é regular somente no parâmetro t=0, que corresponde ao ponto (0,0) no plano.
  • Um comentário intuitivo: para t\neq0 a velocidade \alpha'(t) é diferente de zero, logo a curva tem uma direção tangente bem definida; em t=0 a velocidade é zero e a curva apresenta um ponto singular (no caso concreto, é um cusp — a conhecida “semi-cúbica” dada implicitamente por y^{2}=x^{3}), mas isso só é observação adicional: a resposta pedida é o(s) ponto(s) onde a derivada é nula.

Resposta

t=0, correspondente ao ponto \alpha(0)=(0,0)

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