- Determine todos os pontos onde a curva
não é regular.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede: determinar todos os pontos onde a curva não é regular.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A variável de parâmetro é
(domínio usualmente , não especificado, mas assumido). - A curva é um mapeamento de
em dado pelas componentes e . - O que precisa ser encontrado: os valores de
(e, se for útil, os pontos no plano) em que a curva não é regular.
Passo 2
Definição e ideia principal (explicando sem pular etapas).
- Uma curva paramétrica
é dita regular num parâmetro se a derivada (velocidade) não for o vetor nulo. Em símbolos: . - Se
, dizemos que a curva não é regular em (às vezes chamamos de ponto singular ou crítico). - Portanto, o procedimento é: calcular
, resolver e listar os (e os pontos correspondentes) que satisfazem isso.
Passo 3
Como calcular a derivada de uma curva vetorial (relembrando regras básicas).
- A derivada de uma curva definida por componentes faz-se componente a componente. Se
, então . - Regra do poder: para
a derivada é . Vou aplicar isso às componentes e .
Passo 4
Calcular explicitamente
.
- Derivada da primeira componente:
. - Derivada da segunda componente:
.
Assim,
Passo 5
Resolver a condição de não regularidade
.
- Igualando componente a componente:
e . - Da primeira equação vem
. Da segunda equação vem , o que também dá . - Logo, a única solução é
. Não há outro que anule simultaneamente ambas as componentes.
Passo 6
Determinar o ponto no plano correspondente e comentar geometricamente (didático e motivador).
- O ponto correspondente é
. - Conclusão: a curva não é regular somente no parâmetro
, que corresponde ao ponto no plano. - Um comentário intuitivo: para
a velocidade é diferente de zero, logo a curva tem uma direção tangente bem definida; em a velocidade é zero e a curva apresenta um ponto singular (no caso concreto, é um cusp — a conhecida “semi-cúbica” dada implicitamente por ), mas isso só é observação adicional: a resposta pedida é o(s) ponto(s) onde a derivada é nula.