Calcule o comprimento da curva, para cada situação a seguir:
g(t)=(3 \cos (t), 3 \sin (t), t), \operatorname{para} 2 \pi \leq t \leq 6 \pi

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
g(t) = \bigl(3\cos(t),\;3\sin(t),\;t\bigr)
no intervalo \,2\pi \le t \le 6\pi. A pergunta é: calcular o comprimento da curva nesse intervalo.
Informações relevantes que temos:
  • A função vetorial g(t) com as três componentes explícitas.
  • O intervalo de parâmetro é de t=2\pi até t=6\pi.
  • É pedido o comprimento da curva, isto é, o comprimento do arco percorrido quando t varia nesse intervalo.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicando com carinho): para uma curva parametrizada por r(t)=(x(t),y(t),z(t)) com derivadas contínuas em [a,b], o comprimento da curva entre t=a e t=b é dado por
L=\int_{a}^{b} \bigl\|r'(t)\bigr\|\,dt.
Aqui r'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)) é o vetor velocidade, e a norma \bigl\|r'(t)\bigr\| significa
\bigl\|r'(t)\bigr\|=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}.
Intuição rápida e amigável: uma pequena variação dt desloca o ponto da curva por aproximadamente r'(t)\,dt, cujo comprimento é \|r'(t)\|\,dt; somando (integrando) essas contribuições obtemos o comprimento total.

Passo 3

Vamos calcular a derivada componente a componente para a nossa curva g(t).
As componentes são x(t)=3\cos(t), y(t)=3\sin(t), z(t)=t. Portanto:
x'(t) = -3\sin(t), \qquad y'(t) = 3\cos(t), \qquad z'(t) = 1.

Passo 4

Agora calculamos a norma do vetor velocidade:
\bigl\|g'(t)\bigr\| = \sqrt{(-3\sin t)^2 + (3\cos t)^2 + 1^2} = \sqrt{9\sin^2 t + 9\cos^2 t + 1}.
Usamos a identidade trigonométrica fundamental \sin^2 t + \cos^2 t = 1. Assim
9\sin^2 t + 9\cos^2 t = 9(\sin^2 t + \cos^2 t) = 9\cdot 1 = 9.
Portanto
\bigl\|g'(t)\bigr\| = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}.
Observação útil: a norma é constante; isso significa que a curva tem velocidade constante (é um movimento “a passo constante” ao longo da hélice).

Passo 5

Aplicando a fórmula do comprimento com a=2\pi e b=6\pi:
L = \int_{2\pi}^{6\pi} \bigl\|g'(t)\bigr\|\,dt = \int_{2\pi}^{6\pi} \sqrt{10}\,dt.
Como \sqrt{10} é constante, a integral é fácil:
L = \sqrt{10}\,\bigl(6\pi - 2\pi\bigr) = \sqrt{10}\cdot 4\pi = 4\pi\sqrt{10}.

Passo 6

Para dar uma ideia do valor numérico (só para intuição): \sqrt{10}\approx 3{,}1623, então
L \approx 4\pi \cdot 3{,}1623 \approx 39{,}79.
Mas a forma exata e elegante é 4\pi\sqrt{10}. Vai dar tudo certo na prova — a ideia principal é saber derivar componente a componente, usar a identidade trigonométrica e integrar.

Resposta

4\pi\sqrt{10}

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