Calcule a derivada da função vetorial
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função vetorial
. As informações dadas são:
- A função vetorial é
. - Não há outras condições ou dependência adicional em
além dos componentes já escritos.
A pergunta explícita: "Calcule a derivada de
".
Passo 2
Conceito-chave que vou usar (explicado devagarinho): a derivada de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja, se
,
então
então
Isto vem da definição de derivada por limite aplicada a cada componente — cada componente é uma função real de
e deriva-se cada uma separadamente.
Passo 3
Identificar os componentes da função dada:
-
. -
. -
.
Agora vamos derivar cada uma.
Passo 4
Derivada do primeiro componente
.
- Regra usada: a derivada de uma constante é zero. Intuitivamente, uma constante não muda com
, então a taxa de variação é .
Portanto
Passo 5
Derivada do segundo componente
.
- Observação:
é uma constante numérica (aproximadamente ), então é também uma constante em relação a — não depende de . - Pela mesma regra anterior, a derivada de uma constante é zero.
Portanto
Passo 6
Derivada do terceiro componente
.
- Regra usada: a regra do poder (power rule). Para
com inteiro positivo, a derivada é . - Quando há um coeficiente constante multiplicando, a constante sai da derivada (regra da constante multiplicativa).
Aplicando: primeiro a derivada deé , multiplicando pelo obtemos
Passo 7
Juntando as derivadas componentes conforme explicado no Passo 2, a derivada vetorial é
Dica rápida para a prova: sempre verifique se cada componente depende de
. Se não depender, a derivada dessa componente é
. Para polinômios em
, use a regra do poder — é rápida e evita erros.