Calcule a derivada da função vetorial
\vec{G}(t)=\left(2, e^{\pi}, 4 t^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função vetorial \vec{G}(t). As informações dadas são:
  • A função vetorial é \vec{G}(t)=\left(2, e^{\pi}, 4 t^{3}\right).
  • Não há outras condições ou dependência adicional em t além dos componentes já escritos.
A pergunta explícita: "Calcule a derivada de \vec{G}(t)".

Passo 2

Conceito-chave que vou usar (explicado devagarinho): a derivada de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja, se
\vec{G}(t)=\big(G_1(t),G_2(t),G_3(t)\big),
então
\vec{G}\,'(t)=\big(G_1'(t),G_2'(t),G_3'(t)\big).
Isto vem da definição de derivada por limite aplicada a cada componente — cada componente é uma função real de t e deriva-se cada uma separadamente.

Passo 3

Identificar os componentes da função dada:
  • G_1(t)=2.
  • G_2(t)=e^{\pi}.
  • G_3(t)=4 t^{3}.
Agora vamos derivar cada uma.

Passo 4

Derivada do primeiro componente G_1(t)=2.
  • Regra usada: a derivada de uma constante é zero. Intuitivamente, uma constante não muda com t, então a taxa de variação é 0.
    Portanto
G_1'(t)=0.

Passo 5

Derivada do segundo componente G_2(t)=e^{\pi}.
  • Observação: \pi é uma constante numérica (aproximadamente 3,1415\ldots), então e^{\pi} é também uma constante em relação a t — não depende de t.
  • Pela mesma regra anterior, a derivada de uma constante é zero.
    Portanto
G_2'(t)=0.

Passo 6

Derivada do terceiro componente G_3(t)=4 t^{3}.
  • Regra usada: a regra do poder (power rule). Para t^{n} com n inteiro positivo, a derivada é n t^{n-1}.
  • Quando há um coeficiente constante multiplicando, a constante sai da derivada (regra da constante multiplicativa).
    Aplicando: primeiro a derivada de t^{3} é 3 t^{2}, multiplicando pelo 4 obtemos
G_3'(t)=4\cdot 3 t^{2}=12 t^{2}.

Passo 7

Juntando as derivadas componentes conforme explicado no Passo 2, a derivada vetorial é
\vec{G}\,'(t)=\big(0,\,0,\,12 t^{2}\big).
Dica rápida para a prova: sempre verifique se cada componente depende de t. Se não depender, a derivada dessa componente é 0. Para polinômios em t, use a regra do poder — é rápida e evita erros.

Resposta

\vec{G}\,'(t)=\left(0,0,12 t^{2}\right)

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