Calcule a derivada da função vetorial
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função vetorial
. As informações dadas são:
- A função vetorial é
. - Quer-se
(a derivada em relação a ).
Passo 2
Conceito e regra principal que vamos usar (explicação didática): a derivada de uma função vetorial definida por componentes é obtida derivando cada componente escalar independentemente. Ou seja, se
então
Isto vale porque o limite vetor é o vetor dos limites das componentes (limite componente a componente). Assim basta calcular as derivadas das três funções escalares
.
Passo 3
Derivada da primeira componente
.
Explicação passo a passo: a função identidade
tem derivada dada por
Portanto
Passo 4
Derivada da segunda componente
. Aqui usamos a regra da cadeia.
A regra da cadeia (explicação): se
com
diferenciável, então
No nosso caso,
. Calculamos
:
porque é uma constante multiplicando
. Aplicando a regra da cadeia:
Comentário intuitivo: a derivada de
é
, e como o argumento tem fator
surge um multiplicador
.
Passo 5
Derivada da terceira componente
(constante).
Regra: a derivada de uma constante é zero, pois
Logo
Passo 6
Juntando as derivadas das componentes, pela regra do Passo 2, obtemos a derivada vetorial:
Observação prática: esta é a fórmula que pode ser usada imediatamente na prova. Se quiser avaliar em um ponto específico, basta substituir o valor de
na expressão acima (por exemplo, em
dá
).