Calcule a derivada da função vetorial
\vec{F}(t)=(t, \sin (2 t), 2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função vetorial \vec{F}. As informações dadas são:
  • A função vetorial é \vec{F}(t) = \bigl(t,\; \sin(2t),\; 2\bigr).
  • Quer-se \dfrac{d\vec{F}}{dt} (a derivada em relação a t).

Passo 2

Conceito e regra principal que vamos usar (explicação didática): a derivada de uma função vetorial definida por componentes é obtida derivando cada componente escalar independentemente. Ou seja, se
\vec{F}(t)=\bigl(F_1(t),\,F_2(t),\,F_3(t)\bigr),
então
\frac{d\vec{F}}{dt}(t)=\bigl(F_1'(t),\,F_2'(t),\,F_3'(t)\bigr).
Isto vale porque o limite vetor é o vetor dos limites das componentes (limite componente a componente). Assim basta calcular as derivadas das três funções escalares F_1(t),F_2(t),F_3(t).

Passo 3

Derivada da primeira componente F_1(t)=t.
Explicação passo a passo: a função identidade f(t)=t tem derivada dada por
f'(t)=\lim_{h\to0}\frac{(t+h)-t}{h}=\lim_{h\to0}\frac{h}{h}=1.
Portanto
F_1'(t)=1.

Passo 4

Derivada da segunda componente F_2(t)=\sin(2t). Aqui usamos a regra da cadeia.
A regra da cadeia (explicação): se g(t)=\sin(u(t)) com u(t) diferenciável, então
g'(t)=\cos(u(t))\cdot u'(t).
No nosso caso, u(t)=2t. Calculamos u'(t):
u'(t)=\frac{d}{dt}(2t)=2,
porque é uma constante multiplicando t. Aplicando a regra da cadeia:
F_2'(t)=\frac{d}{dt}\sin(2t)=\cos(2t)\cdot 2 = 2\cos(2t).
Comentário intuitivo: a derivada de \sin é \cos, e como o argumento tem fator 2 surge um multiplicador 2.

Passo 5

Derivada da terceira componente F_3(t)=2 (constante).
Regra: a derivada de uma constante é zero, pois
\frac{d}{dt}2=\lim_{h\to0}\frac{2-2}{h}=0.
Logo
F_3'(t)=0.

Passo 6

Juntando as derivadas das componentes, pela regra do Passo 2, obtemos a derivada vetorial:
\frac{d\vec{F}}{dt}(t)=\bigl(1,\;2\cos(2t),\;0\bigr).
Observação prática: esta é a fórmula que pode ser usada imediatamente na prova. Se quiser avaliar em um ponto específico, basta substituir o valor de t na expressão acima (por exemplo, em t=0 \bigl(1,2,0\bigr)).

Resposta

\dfrac{d\vec{F}}{dt}(t)=\bigl(1,\;2\cos(2t),\;0\bigr)

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