Calcule o comprimento da curva y=x^{3 / 2}, de x=0 a x=5. (Escreva a resposta com erro inferior a 0,01)

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva definida por y = x^{3/2} no intervalo 0 \le x \le 5. O conteúdo que vamos usar é a fórmula do comprimento de arco de uma função y = f(x):
s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\;dx.

Passo 2

Calculamos a derivada de y:
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\bigl(x^{3/2}\bigr) = \frac{3}{2}\,x^{1/2}.

Passo 3

Substituímos na fórmula do comprimento de arco, com a=0 e b=5:
s = \int_{0}^{5} \sqrt{1 + \Bigl(\tfrac{3}{2}x^{1/2}\Bigr)^{2}}\;dx = \int_{0}^{5} \sqrt{1 + \frac{9}{4}\,x}\;dx.

Passo 4

Fatoramos sob a raiz para simplificar:
\sqrt{1 + \frac{9}{4}\,x} = \sqrt{\frac{4 + 9x}{4}} = \frac{1}{2}\,\sqrt{9x + 4}.
Logo
s = \int_{0}^{5} \frac{1}{2}\,\sqrt{9x + 4}\;dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{5} \sqrt{9x + 4}\;dx.

Passo 5

Usamos a substituição u = 9x + 4, assim du = 9\,dx e dx = du/9. Quando x=0, u=4; quando x=5, u=49. Então
s = \frac{1}{2}\,\int_{u=4}^{49} \sqrt{u}\,\frac{du}{9} = \frac{1}{18} \int_{4}^{49} u^{1/2}\,du.
Integrando:
\int u^{1/2}\,du = \frac{2}{3}u^{3/2},
então
s = \frac{1}{18}\cdot\frac{2}{3}\Bigl[u^{3/2}\Bigr]_{4}^{49} = \frac{1}{27}\bigl(49^{3/2}-4^{3/2}\bigr).

Passo 6

Calculamos 49^{3/2} = 7^{3} = 343 e 4^{3/2} = 2^{3} = 8. Assim
s = \frac{343 - 8}{27} = \frac{335}{27}\approx 12,4074\ldots

Resposta

O comprimento da curva é aproximadamente 12,41.

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