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A região delimitada pela curva y=\sqrt{x} \cdot e^{-x^{2}}, 0 \leq x \leq \sqrt{2}, gira em torno do eixo x. Qual é o valor numérico do volume do sólido resultante?
Escolha uma opção:
\pi \frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{e^{4}}\right)
\pi \frac{1}{4}\left(1-\frac{3}{2 e^{4}}\right)
\pi \frac{3}{4}\left(3-\frac{1}{e^{4}}\right)
\pi \frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{3 e^{4}}\right)
\pi \frac{2}{3}\left(1-\frac{2}{e^{3}}\right)

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região sob a curva
y = \sqrt{x}\,e^{-x^{2}}
no intervalo 0 \le x \le \sqrt{2}.
O método apropriado é o dos discos, que diz
V = \pi \int_{0}^{\sqrt{2}} \bigl[y(x)\bigr]^{2}\,dx.

Passo 2

Calculamos o quadrado de y:
\bigl[y(x)\bigr]^{2} = \bigl(\sqrt{x}\,e^{-x^{2}}\bigr)^{2} = x\,e^{-2x^{2}}.
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V = \pi \int_{0}^{\sqrt{2}} x\,e^{-2x^{2}}\,dx.

Passo 3

Para avaliar
\int x\,e^{-2x^{2}}\,dx
fazemos a substituição u = -2x^{2}, de onde du = -4x\,dx e portanto x\,dx = -\tfrac{1}{4}\,du. Assim,
\int x\,e^{-2x^{2}}\,dx = -\frac{1}{4}\int e^{u}\,du = -\frac{1}{4}\,e^{u} = -\frac{1}{4}\,e^{-2x^{2}}.
Aplicando os limites de 0 a \sqrt{2},
\int_{0}^{\sqrt{2}} x\,e^{-2x^{2}}\,dx = \Bigl[-\tfrac{1}{4}e^{-2x^{2}}\Bigr]_{0}^{\sqrt{2}} = -\frac{1}{4}e^{-4} -\Bigl(-\frac{1}{4}e^{0}\Bigr) = \frac{1}{4}\Bigl(1 - e^{-4}\Bigr).

Passo 4

Multiplicando por \pi, o volume fica
V = \pi \cdot \frac{1}{4}\Bigl(1 - e^{-4}\Bigr) = \pi\,\frac{1}{4}\Bigl(1 - \frac{1}{e^{4}}\Bigr).

Resposta

\displaystyle \pi\,\frac{1}{4}\Bigl(1 - \tfrac{1}{e^{4}}\Bigr)

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