Calcule o comprimento da curva F(t)=\left(6 t, 3 t^{2}, t^{3}\right), com t \in[0,1].

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica \displaystyle F(t) = (6t,\;3t^2,\;t^3)
em [0,1] e pede o comprimento dessa curva. O conteúdo é comprimento de arco de uma curva em \mathbb{R}^3, que usa a fórmula
L = \int_{0}^{1} \big\|F'(t)\big\|\,dt.
Para resolver, vamos precisar de derivar F, calcular sua norma e então integrar.

Passo 2

Derivando componente a componente, obtemos
F'(t) = \bigl(6,\;6t,\;3t^2\bigr).

Passo 3

A norma de F'(t) é
\|F'(t)\| = \sqrt{6^2 + (6t)^2 + (3t^2)^2} = \sqrt{36 + 36t^2 + 9t^4} = \sqrt{9\,(t^4 + 4t^2 + 4)}.
Como t^4 + 4t^2 + 4 = (t^2 + 2)^2, segue
\|F'(t)\| = 3\,(t^2 + 2).

Passo 4

O comprimento é
L = \int_{0}^{1} 3\,(t^2 + 2)\,dt = 3 \int_{0}^{1} \bigl(t^2 + 2\bigr)\,dt = 3\Bigl[\tfrac{t^3}{3} + 2t\Bigr]_{0}^{1} = 3\Bigl(\tfrac{1}{3} + 2\Bigr) = 7.

Resposta

O comprimento da curva é 7.

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