Exemplo 33. Usando a expressão alternativa acima, determine a curvatura da a curva C dada por \left(t, t^{2}, t^{3}\right), para t \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede a curvatura da curva C\colon t\mapsto (t,t^2,t^3) usando a expressão alternativa
\kappa(t)=\frac{\bigl\lVert \mathbf r'(t)\times \mathbf r''(t)\bigr\rVert}{\bigl\lVert \mathbf r'(t)\bigr\rVert^3}.
Vamos usar cálculo vetorial: derivadas primeiras e segundas, produto vetorial e norma.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas de \mathbf r(t)=(t,t^2,t^3):
\mathbf r'(t)=\bigl(1,\,2t,\,3t^2\bigr), \qquad \mathbf r''(t)=\bigl(0,\,2,\,6t\bigr).

Passo 3

Agora fazemos o produto vetorial
\mathbf r'(t)\times \mathbf r''(t) =\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 1 & 2t & 3t^2\\\\ 0 & 2 & 6t \end{vmatrix} =(6t^2,\,-6t,\,2).
A norma desse vetor é
\bigl\lVert \mathbf r'\times \mathbf r''\bigr\rVert =\sqrt{(6t^2)^2+(-6t)^2+2^2} =2\,\sqrt{9t^4+9t^2+1}.

Passo 4

Em seguida, calculamos a norma de \mathbf r'(t):
\bigl\lVert \mathbf r'(t)\bigr\rVert =\sqrt{1+(2t)^2+(3t^2)^2} =\sqrt{1+4t^2+9t^4}.
Logo
\bigl\lVert \mathbf r'(t)\bigr\rVert^3 =\bigl(1+4t^2+9t^4\bigr)^{3/2}.

Passo 5

Substituindo em \kappa(t)=\dfrac{\lVert \mathbf r'\times \mathbf r''\rVert}{\lVert \mathbf r'\rVert^3}, obtemos
\kappa(t) =\frac{2\,\sqrt{9t^4+9t^2+1}}{\bigl(1+4t^2+9t^4\bigr)^{3/2}}.

Resposta

\kappa(t) =\frac{2\,\sqrt{9t^4+9t^2+1}}{\bigl(1+4t^2+9t^4\bigr)^{3/2}}.

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