Calcule o comprimento da curva r=1-sen theta.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento da curva em coordenadas polares dada por r(θ)=1−senθ, para θ variando de 0 a 2π. O conteúdo principal é comprimento de curva em coordenadas polares, usando a fórmula que envolve r e sua derivada.

Passo 2

Primeiro, calculamos dr/dθ e montamos a integral de comprimento. Usando a fórmula
L=integral0^2piraizr^2+gl(drdthetagr)^2,dtheta,
temos r=1−senθ e dr/dθ=−cosθ. Substituindo, o integrando fica
raiz(1-sintheta)^2+cos^2theta

Passo 3

Agora simplificamos o integrando usando sin2θ+cos2θ=1:
(1-sintheta)^2+cos^2theta=1-2sintheta+sin^2theta+cos^2theta=2-2sintheta,
o que leva a
raiz2-2sintheta=raiz2l(1-sinthetar)

Passo 4

Para eliminar o valor absoluto, usamos a identidade trigonométrica
1-sintheta=(sin(tfractheta2)-cos(tfractheta2))^2,
de modo que o integrando vira
raiz2,l|sin(tfractheta2)-cos(tfractheta2)r|
Analisando o sinal de sin(θ/2)−cos(θ/2), vemos que é negativo em [0,π/2] e positivo em [π/2,2π], então quebramos a integral nessas duas partes.

Passo 5

Em cada trecho, escolhemos o sinal adequado e integramos:
  • Para 0≤θ≤π/2, |…|=cos(θ/2)−sin(θ/2). A antiderivada é
integral(cos(tfractheta2)-sin(tfractheta2))dtheta=2sin(tfractheta2)+2cos(tfractheta2)
Avaliando de 0 a π/2 dá 2√2−2.
  • Para π/2≤θ≤2π, |…|=sin(θ/2)−cos(θ/2). A antiderivada é
integral(sin(tfractheta2)-cos(tfractheta2))dtheta=-2cos(tfractheta2)-2sin(tfractheta2)
Avaliando de π/2 a 2π dá 2+2√2.

Passo 6

Somando as duas partes e multiplicando por √2, obtemos
L=raiz2l[(2raiz2-2)+(2+2raiz2)r]=raiz2(4raiz2)=8

Resposta

8

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