Calcule o comprimento da curva
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Passo 1
O enunciado pede para calcular o comprimento da curva em coordenadas polares dada por r(θ)=1−senθ, para θ variando de 0 a 2π. O conteúdo principal é comprimento de curva em coordenadas polares, usando a fórmula que envolve r e sua derivada.
Passo 2
Primeiro, calculamos dr/dθ e montamos a integral de comprimento. Usando a fórmula
temos r=1−senθ e dr/dθ=−cosθ. Substituindo, o integrando fica
Passo 3
Agora simplificamos o integrando usando sin2θ+cos2θ=1:
o que leva a
Passo 4
Para eliminar o valor absoluto, usamos a identidade trigonométrica
de modo que o integrando vira
Analisando o sinal de sin(θ/2)−cos(θ/2), vemos que é negativo em [0,π/2] e positivo em [π/2,2π], então quebramos a integral nessas duas partes.
Passo 5
Em cada trecho, escolhemos o sinal adequado e integramos:
- Para 0≤θ≤π/2, |…|=cos(θ/2)−sin(θ/2). A antiderivada é
Avaliando de 0 a π/2 dá 2√2−2.
- Para π/2≤θ≤2π, |…|=sin(θ/2)−cos(θ/2). A antiderivada é
Avaliando de π/2 a 2π dá 2+2√2.
Passo 6
Somando as duas partes e multiplicando por √2, obtemos
Resposta
8