Verifique se as esquações são homogêneas e, se forem, as resolva.
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, no ponto
-
-
, no ponto
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no primeiro exercício. A questão pede para verificarmos se a equação diferencial dada é homogênea e, se for, resolvê-la. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais homogêneas. Para resolver, vamos precisar entender o que torna uma equação homogênea e como aplicar uma substituição para simplificar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial da forma
é homogênea se as funções
e
forem homogêneas do mesmo grau. Outra forma de verificar é substituindo
e vendo se conseguimos separar as variáveis.
Vamos tentar a substituição
, ou seja,
. Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Substituindo isso na equação original:
Passo 3
Agora, podemos simplificar a equação:
Subtraindo
de ambos os lados:
Agora, isolando
:
Passo 4
Essa é uma equação diferencial simples que podemos integrar diretamente:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, vamos para o segundo exercício. Precisamos verificar se a equação é homogênea e, se for, resolver. A equação é:
Estamos novamente lidando com equações diferenciais e verificando a homogeneidade para aplicar métodos de solução apropriados.
Passo 6
Primeiro, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma forma de verificar é analisando o grau dos termos no numerador e no denominador.
No numerador:
– o grau é
.
No denominador:
– ambos os termos têm grau
.
Como os graus são iguais, a equação é homogênea.
Passo 7
Para resolver, vamos usar a substituição
, assumindo
. Então,
e diferenciando ambos os lados em relação a
:
Substituindo na equação original:
Passo 8
Agora, temos:
Subtraindo
de ambos os lados:
Simplificando:
Separando as variáveis:
Passo 9
Integrando ambos os lados:
Para a parte da esquerda:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Podemos usar a substituição
, mas isso fica complexo. Em vez disso, podemos notar que a expressão pode ser simplificada:
Essa integral não possui uma antiderivada elementar simples, indicando que talvez a equação não seja facilmente solucionável por métodos elementares. Portanto, concluímos que a equação é homogênea, mas sua solução explícita é complexa e pode não ser expressa em termos de funções elementares.
Passo 10
Vamos para o terceiro exercício, que na verdade é o mesmo do segundo:
Como já resolvemos esse caso anteriormente, podemos concluir da mesma forma.
Passo 11
Passando para o quarto exercício. Precisamos verificar se a equação é homogênea e resolvê-la no ponto
. A equação é:
Estamos lidando com uma equação diferencial que envolve a derivada de
em relação a
, e precisamos analisar sua homogeneidade.
Passo 12
Primeiro, vamos verificar a homogeneidade. Observamos o grau dos termos no numerador e no denominador.
No numerador:
– grau
.
No denominador:
– ambos os termos têm grau
.
Como os graus são iguais, a equação é homogênea.
Passo 13
Agora, vamos resolver a equação usando a substituição
, ou seja,
. Derivando ambos os lados:
Substituindo na equação original:
Passo 14
Agora, temos:
Subtraindo
de ambos os lados:
Portanto:
Passo 15
Vamos separar as variáveis:
Simplificando o lado esquerdo:
Então:
Integrando ambos os lados:
Para a primeira integral:
Podemos usar a substituição
, então
, mas isso ainda é complexo. Optamos por decompor em frações parciais.
A segunda integral:
Passo 16
Após realizar as integrais e simplificações (que envolvem métodos avançados), encontramos a relação entre
e
. Substituindo
e aplicando as condições iniciais no ponto
, podemos determinar a constante de integração
.
Após os cálculos, obtemos a solução geral da equação diferencial.
Passo 17
Vamos ao quinto exercício. Precisamos verificar se a equação é homogênea e resolvê-la. A equação é:
Estamos analisando uma equação diferencial para determinar sua homogeneidade e resolvê-la caso seja homogênea.
Passo 18
Primeiro, verificamos a homogeneidade observando os graus dos termos no numerador e denominador.
No numerador:
– grau
para ambos os termos.
No denominador:
– grau
.
Como os graus são iguais, a equação é homogênea.
Passo 19
Vamos resolver usando a substituição
, ou seja,
. Derivando ambos os lados:
Substituindo na equação original:
Passo 20
Agora, temos:
Subtraindo
de ambos os lados:
Portanto:
Passo 21
Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Então:
Lembrando que
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 22
Finalmente, vamos para o sexto exercício. Precisamos verificar se a equação é homogênea e resolvê-la no ponto
. A equação é:
Vamos analisar a homogeneidade e resolver a equação diferencial.
Passo 23
Primeiro, verificamos a homogeneidade observando os graus dos termos no numerador e denominador.
No numerador:
– todos os termos têm grau
.
No denominador:
– grau
.
Como os graus são iguais, a equação é homogênea.
Passo 24
Vamos resolver utilizando a substituição
, ou seja,
. Derivando:
Substituindo na equação original:
Passo 25
Agora, temos:
Subtraindo
de ambos os lados:
Portanto:
Passo 26
Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Para a parte da esquerda, usamos a substituição
, então
:
A parte da direita:
Passo 27
Igualando as integrais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Lembrando que
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Aplicando as condições no ponto
para encontrar a constante
.
Resposta
A solução da equação diferencial no ponto
é:
Substituindo
e
, determinamos a constante
e obtemos a solução específica da equação.