Resolver as equações diferenciais em potência de e determine seu raio de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que está em termos de potência de . A equação dada é:
Estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias e vamos usar a série de potências para encontrar a solução. Para isso, precisamos assumir que a solução pode ser expressa como uma série de potências de e então determinar os coeficientes dessa série. Além disso, vamos calcular o raio de convergência dessa série para saber onde a solução é válida.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em 0:
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de para substituir na equação diferencial. Vamos calcular a primeira e a segunda derivadas:
Passo 4
Vamos substituir , e na equação diferencial original:
Passo 5
Agora, vamos reorganizar os termos para que todas as séries tenham o mesmo expoente de . Para isso, ajustamos os índices de soma:
Passo 6
Com todas as séries com , podemos combinar os termos:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , o coeficiente de cada deve ser zero:
Passo 7
Simplificando a equação de recorrência:
Essa relação nos permite encontrar em termos de e .
Passo 8
Para iniciar a série, precisamos de condições iniciais. Suponha que e . Esses serão os primeiros termos da nossa série.
Passo 9
Como não temos condições iniciais específicas, nossa solução será em termos de e . Aplicando a relação de recorrência, podemos encontrar os coeficientes seguintes:
E assim por diante para
Passo 10
Agora, para determinar o raio de convergência, usamos o Critério da Razão. Consideramos o limite:
Analisando a relação de recorrência, para grandes an+2 approx (n) ann^2 = ann , temos:
limn to infty | anan+1 | = infty
Então,
Isso sugere que o raio de convergência é infinito.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é uma série de potências com coeficientes determinados pela relação de recorrência e o raio de convergência é infinito.