Resolver as equações diferenciais em potência de x e determine seu raio de convergência.
y^prime prime+(x-1) y^prime+y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que está em termos de potência de y'' + (x - 1)y' + y = 0 . A equação dada é:
Estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias e vamos usar a série de potências para encontrar a solução. Para isso, precisamos assumir que a solução pode ser expressa como uma série de potências de e então determinar os coeficientes dessa série. Além disso, vamos calcular o raio de convergência dessa série para saber onde a solução é válida.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução y = sumn=0^infty an x^n pode ser escrita como uma série de potências centrada em 0:
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de y' = sumn=0^infty an n x^n-1 para substituir na equação diferencial. Vamos calcular a primeira e a segunda derivadas:
y'' = sumn=0^infty an n (n - 1) x^n-2

Passo 4

Vamos substituir sumn=0^infty an n (n - 1) x^n-2 + (x - 1) sumn=0^infty an n x^n-1 + sumn=0^infty an x^n = 0 , e na equação diferencial original:

Passo 5

Agora, vamos reorganizar os termos para que todas as séries tenham o mesmo expoente de sumn=0^infty an+2 (n+2)(n+1) x^n + sumn=0^infty an+1 (n+1) x^n - sumn=0^infty an (n) x^n + sumn=0^infty an x^n = 0 . Para isso, ajustamos os índices de soma:

Passo 6

Com todas as séries com sumn=0^infty [ an+2 (n+2)(n+1) + an+1 (n+1) - an n + an ] x^n = 0 , podemos combinar os termos:
an+2 (n+2)(n+1) + an+1 (n+1) - an n + an = 0
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , o coeficiente de cada deve ser zero:

Passo 7

Simplificando a equação de recorrência:
an+2 = (n - 1) an - an+1(n+2)(n+1)
Essa relação nos permite encontrar em termos de e .

Passo 8

Para iniciar a série, precisamos de condições iniciais. Suponha que e . Esses serão os primeiros termos da nossa série.

Passo 9

Como não temos condições iniciais específicas, nossa solução será em termos de a2 = (0 - 1) a0 - a12 times 1 = -a0 - a12 e . Aplicando a relação de recorrência, podemos encontrar os coeficientes seguintes:
E assim por diante para

Passo 10

Agora, para determinar o raio de convergência, usamos o Critério da Razão. Consideramos o limite:
R = limn to infty | anan+1 |
Analisando a relação de recorrência, para grandes an+2 approx (n) ann^2 = ann , temos:
limn to infty | anan+1 | = infty
Então,
Isso sugere que o raio de convergência é infinito.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é uma série de potências com coeficientes determinados pela relação de recorrência e o raio de convergência é infinito.

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