Calcule o comprimento da curva
y=\sqrt[3]{x^{2}}
no intervalo 0 \leq x \leq 4

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva dada por
y=\sqrt[3]{x^{2}}
no intervalo 0\le x\le 4. Informações relevantes fornecidas:
y=\sqrt[3]{x^{2}} \quad\text{para}\quad 0\le x\le 4.
A tarefa é calcular o comprimento da curva no intervalo indicado.

Passo 2

Para calcular comprimentos de curvas que são funções y=y(x) de x usa-se a fórmula do comprimento de arco:
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
Aqui:
  • L é o comprimento da curva entre x=a e x=b.
  • y'(x) é a derivada de y em relação a x.
    Vou aplicar essa fórmula com a=0 e b=4. Antes preciso achar y'(x) e montar a integral.

Passo 3

Calcular a derivada de y. Observando que para x\ge 0 temos
y=\sqrt[3]{x^{2}}=x^{2/3}.
Usamos a regra da potência: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Assim
y'(x)=\frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}=\frac{2}{3}x^{-1/3}=\frac{2}{3x^{1/3}}.

Passo 4

Substituímos y'(x) na fórmula do comprimento:
Primeiro calculemos \bigl(y'(x)\bigr)^{2}:
\bigl(y'(x)\bigr)^{2}=\left(\frac{2}{3}x^{-1/3}\right)^{2}=\frac{4}{9}x^{-2/3}.
Então o integrando fica
\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}=\sqrt{1+\frac{4}{9}x^{-2/3}}.
Colocando sobre um denominador comum e simplificando,
1+\frac{4}{9}x^{-2/3}=\frac{9x^{2/3}+4}{9x^{2/3}},
portanto
\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}=\frac{\sqrt{9x^{2/3}+4}}{3x^{1/3}}.
A integral do comprimento é então
L=\int_{0}^{4}\frac{\sqrt{9x^{2/3}+4}}{3x^{1/3}}\,dx.

Passo 5

Observação sobre x=0: a derivada tende a infinito em x=0, então a integral é imprópria no limite inferior. Precisamos verificar convergência antes de prosseguir. Para x pequeno, o integrando se comporta como
\sqrt{1+\frac{4}{9}x^{-2/3}}\sim \frac{2}{3}x^{-1/3}.
Como \int_{0} x^{-1/3}\,dx converge (exponente -1/3>-1), a integral original converge. Podemos calcular o valor propriamente dito fazendo uma substituição conveniente.

Passo 6

Fazemos a substituição u=x^{1/3}. Então
x=u^{3},\qquad dx=3u^{2}\,du.
Os limites transformam-se: quando x=0 tem u=0; quando x=4 tem u=\sqrt[3]{4}.
Substituindo na integral:
L=\int_{0}^{\sqrt[3]{4}}\frac{\sqrt{9(u^{3})^{2/3}+4}}{3(u^{3})^{1/3}}\,3u^{2}\,du.
Simplificando as potências: (u^{3})^{1/3}=u e (u^{3})^{2/3}=u^{2}, obtemos
L=\int_{0}^{\sqrt[3]{4}} \frac{\sqrt{9u^{2}+4}}{3u}\cdot 3u^{2}\,du =\int_{0}^{\sqrt[3]{4}} u\sqrt{9u^{2}+4}\,du.

Passo 7

Calculamos a integral
\int u\sqrt{9u^{2}+4}\,du.
Fazemos a substituição t=9u^{2}+4. Então
dt=18u\,du\quad\Rightarrow\quad u\,du=\frac{dt}{18}.
A integral fica
\int u\sqrt{9u^{2}+4}\,du=\int \sqrt{t}\cdot\frac{dt}{18}=\frac{1}{18}\int t^{1/2}\,dt.
Integrando t^{1/2} obtemos \frac{2}{3}t^{3/2}. Logo a primitiva é
\frac{1}{18}\cdot\frac{2}{3}t^{3/2}=\frac{1}{27}t^{3/2}=\frac{1}{27}\bigl(9u^{2}+4\bigr)^{3/2}.

Passo 8

Aplicamos os limites u=0 até u=\sqrt[3]{4}:
L=\left.\frac{1}{27}\bigl(9u^{2}+4\bigr)^{3/2}\right|_{0}^{\sqrt[3]{4}} =\frac{1}{27}\Bigl(\bigl(9(\sqrt[3]{4})^{2}+4\bigr)^{3/2}-\bigl(9\cdot 0^{2}+4\bigr)^{3/2}\Bigr).
Calculemos o termo inferior: 9\cdot 0^{2}+4=4 e 4^{3/2}=(\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8.
Portanto
L=\frac{1}{27}\Bigl(\bigl(9(\sqrt[3]{4})^{2}+4\bigr)^{3/2}-8\Bigr).
Podemos reescrever (\sqrt[3]{4})^{2} como 4^{2/3}, obtendo a forma mais compacta:
L=\frac{1}{27}\Bigl(\bigl(9\cdot 4^{2/3}+4\bigr)^{3/2}-8\Bigr).

Passo 9

Resumo final: o comprimento exato da curva y=\sqrt[3]{x^{2}} em 0\le x\le 4 é
L=\frac{1}{27}\Bigl(\bigl(9\cdot 4^{2/3}+4\bigr)^{3/2}-8\Bigr).

Resposta

L=\frac{1}{27}\Bigl(\bigl(9\cdot 4^{2/3}+4\bigr)^{3/2}-8\Bigr)

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