Um dos requisitos de projeto de sistema de controle é deixar reduzir pela metada o tempo de acomodação do sistema em malha fechada. Isto é, projetar um sistema de controle de forma que o sistema em malha fechada tenha um tempo de
duas vezes menor do que o de malha aberta. Qual é o
desejado em malha fechada?
Passo 1
O enunciado diz que queremos projetar o controlador para que o tempo de acomodação (critério de
) do sistema em malha fechada seja metade do tempo de acomodação do sistema em malha aberta.
Informações dadas (explicitadas):
Informações dadas (explicitadas):
- O tempo de acomodação em malha aberta é um valor que chamaremos de
. - O requisito é que o tempo de acomodação em malha fechada seja duas vezes menor (ou seja, metade) desse valor.
Pergunta pedida: - Qual é o valor desejado de
em malha fechada (em função do dado)?
Passo 2
O que é exatamente o tempo de acomodação de
? Vou explicar direitinho porque isso aparece sempre nas provas.
Definição: o tempo de acomodação de , que vou denotar por
, é o menor tempo a partir do qual a resposta do sistema permanece dentro da faixa
do valor final para todo tempo posterior. Em outras palavras, depois de
a saída está “acometada” dentro de
do objetivo.
Matematicamente, se a resposta ao degrau tem valor final , então
é o menor
tal que para todo
vale
.
Definição: o tempo de acomodação de
Matematicamente, se a resposta ao degrau tem valor final
Passo 3
Exemplo-padrão (útil para entender a relação): sistema de primeira ordem. A resposta ao degrau unitário de um sistema de primeira ordem com constante de tempo
é
A condição de
é
, isto é
. Tomando logaritmo,
Calculando
:
. Logo
Resumo prático: para um sistema de primeira ordem,
. Isso é só um exemplo que ajuda a ver o que “reduzir o tempo pela metade” significa em termos de constantes de tempo.
Passo 4
Aplicando o requisito do enunciado de forma direta e genérica: queremos que o tempo de acomodação em malha fechada, que chamaremos de
, seja metade do tempo em malha aberta
. Isso dá a relação simples e exata
Se você estiver trabalhando com um modelo de primeira ordem onde
, então colocar
implica que a constante de tempo da malha fechada deve ser metade da da malha aberta, pois
. Para sistemas de ordem maior a ideia é análoga: reduzir pela metade o tempo de acomodação exige aumentar a “velocidade” do sistema (por exemplo dobrar
num modelo de segunda ordem aproximado), mas a relação direta entre os tempos é sempre a equação acima.
Passo 5
Exemplo numérico rápido pra você guardar na prova: se o sistema em malha aberta tem
, o desejado em malha fechada é
Isso mostra que a resposta é direta — basta dividir por 2.