Um dos requisitos de projeto de sistema de controle é deixar reduzir pela metada o tempo de acomodação do sistema em malha fechada. Isto é, projetar um sistema de controle de forma que o sistema em malha fechada tenha um tempo de 5 \% duas vezes menor do que o de malha aberta. Qual é o t_{5} \% desejado em malha fechada?

Passo 1

O enunciado diz que queremos projetar o controlador para que o tempo de acomodação (critério de 5\%) do sistema em malha fechada seja metade do tempo de acomodação do sistema em malha aberta.
Informações dadas (explicitadas):
  • O tempo de acomodação em malha aberta é um valor que chamaremos de t_{5\%,\text{aberta}}.
  • O requisito é que o tempo de acomodação em malha fechada seja duas vezes menor (ou seja, metade) desse valor.
    Pergunta pedida:
  • Qual é o valor desejado de t_{5\%} em malha fechada (em função do t_{5\%,\text{aberta}} dado)?

Passo 2

O que é exatamente o tempo de acomodação de 5\%? Vou explicar direitinho porque isso aparece sempre nas provas.
Definição: o tempo de acomodação de 5\%, que vou denotar por t_{5\%}, é o menor tempo a partir do qual a resposta do sistema permanece dentro da faixa \pm 5\% do valor final para todo tempo posterior. Em outras palavras, depois de t_{5\%} a saída está “acometada” dentro de \pm 5\% do objetivo.
Matematicamente, se a resposta ao degrau tem valor final y(\infty), então t_{5\%} é o menor t tal que para todo t'\ge t vale |y(t')-y(\infty)| \le 0{,}05\,|y(\infty)|.

Passo 3

Exemplo-padrão (útil para entender a relação): sistema de primeira ordem. A resposta ao degrau unitário de um sistema de primeira ordem com constante de tempo \tau é
y(t)=1-e^{-t/\tau}.
A condição de 5\% é |y(t)-1|\le 0{,}05, isto é e^{-t/\tau}\le 0{,}05. Tomando logaritmo,
-\frac{t}{\tau}\le \ln(0{,}05)\quad\Rightarrow\quad t\ge -\tau\ln(0{,}05).
Calculando \ln(0{,}05): \ln(0{,}05)=\ln(5\cdot 10^{-2})=\ln 5 -2\ln 10\approx 1{,}609-4{,}605\approx -2{,}996. Logo
t_{5\%}\approx -\tau(-2{,}996)\approx 2{,}996\,\tau\approx 3\tau.
Resumo prático: para um sistema de primeira ordem, t_{5\%}\approx 3\tau. Isso é só um exemplo que ajuda a ver o que “reduzir o tempo pela metade” significa em termos de constantes de tempo.

Passo 4

Aplicando o requisito do enunciado de forma direta e genérica: queremos que o tempo de acomodação em malha fechada, que chamaremos de t_{5\%,\text{fechada}}, seja metade do tempo em malha aberta t_{5\%,\text{aberta}}. Isso dá a relação simples e exata
t_{5\%,\text{fechada}}=\tfrac{1}{2}\,t_{5\%,\text{aberta}}.
Se você estiver trabalhando com um modelo de primeira ordem onde t_{5\%}\approx 3\tau, então colocar t_{5\%,\text{fechada}}=\tfrac{1}{2}t_{5\%,\text{aberta}} implica que a constante de tempo da malha fechada deve ser metade da da malha aberta, pois 3\tau_{\text{fechada}}=\tfrac{1}{2}\cdot 3\tau_{\text{aberta}}\Rightarrow \tau_{\text{fechada}}=\tfrac{1}{2}\tau_{\text{aberta}}. Para sistemas de ordem maior a ideia é análoga: reduzir pela metade o tempo de acomodação exige aumentar a “velocidade” do sistema (por exemplo dobrar \zeta\omega_n num modelo de segunda ordem aproximado), mas a relação direta entre os tempos é sempre a equação acima.

Passo 5

Exemplo numérico rápido pra você guardar na prova: se o sistema em malha aberta tem t_{5\%,\text{aberta}}=10\\ \text{s}, o desejado em malha fechada é
t_{5\%,\text{fechada}}=\tfrac{1}{2}\cdot 10\\ \text{s}=5\\ \text{s}.
Isso mostra que a resposta é direta — basta dividir por 2.

Resposta

\;t_{5\%,\text{fechada}}=\dfrac{1}{2}\,t_{5\%,\text{aberta}}

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