Considere um controlador do tipo P (Proporcional):
C(s)=K_{p} .
Obtenha a função de transferência em malha fechada.

Passo 1

O enunciado dá o controlador proporcional
C(s)=K_{p}.
Pede-se a função de transferência em malha fechada. Vou considerar a configuração padrão e implícita em exercícios desse tipo: um laço de realimentação negativa unitária (realimentação igual a 1) com uma planta no caminho direto que chamarei de G(s). Assim os sinais e blocos são: referência R(s) → bloco C(s)G(s) → saída Y(s) → realimentação unitária (sinal subtrai em feedback negativo). As informações relevantes listadas: \;C(s)=K_{p} e existe uma planta G(s) no caminho direto; a realimentação é unitária e negativa (assunção padrão).

Passo 2

Vamos definir as variáveis e montar as equações do laço de feedback unitário. Aqui está o que cada símbolo representa:
R(s)\\ \text{: sinal de referência (entrada)},\qquad Y(s)\\ \text{: saída},\qquad E(s)\\ \text{: erro = \(R(s)-Y(s)\)}.êí
No caminho direto, o bloco combinado tem função de transferência
L(s)=C(s)G(s)
(chamamos L(s) de função em malha aberta do caminho direto). Em um laço de realimentação negativa unitária valem as relações:
E(s)=R(s)-Y(s)
e
Y(s)=L(s)\,E(s).
Estas equações vêm da definição de erro (diferença entre referência e realimentação) e da propriedade de blocos em série (a saída do bloco L(s) é L(s) vezes sua entrada E(s)).

Passo 3

Agora eliminamos E(s) para obter a função de transferência T(s)=\dfrac{Y(s)}{R(s)}. Substituindo Y(s)=L(s)E(s) em E(s)=R(s)-Y(s) temos
E(s)=R(s)-L(s)E(s).
Isolando E(s) obtemos
E(s)\big(1+L(s)\big)=R(s)\quad\Longrightarrow\quad E(s)=\frac{R(s)}{1+L(s)}.
Substituindo em Y(s)=L(s)E(s)
Y(s)=L(s)\,\frac{R(s)}{1+L(s)}.
Portanto a função de transferência em malha fechada (de R(s) para Y(s)) é
T(s)=\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{L(s)}{1+L(s)}.
Isto é uma fórmula geral válida para realimentação negativa unitária: basta conhecer L(s)=C(s)G(s).

Passo 4

Agora substituímos C(s)=K_{p} na expressão de L(s). Temos
L(s)=C(s)G(s)=K_{p}\,G(s).
Aplicando a fórmula do passo anterior,
T(s)=\frac{L(s)}{1+L(s)}=\frac{K_{p}\,G(s)}{1+K_{p}\,G(s)}.
Vou explicar o que isso significa: o numerador K_{p}G(s) é a ação do caminho direto ampliada pelo ganho proporcional K_{p}. O denominador 1+K_{p}G(s) é a equação característica do sistema em malha fechada; suas raízes (valores de s que anulam o denominador) determinam estabilidade e dinâmica do sistema. Aumentar K_{p} normalmente altera o ganho de malha fechada e pode deslocar os polos (raízes do denominador), afetando resposta e estabilidade.

Passo 5

Um pequeno exemplo numérico para fixar (opcional): se G(s)=\dfrac{1}{s+1}, então
T(s)=\frac{K_{p}\,\dfrac{1}{s+1}}{1+K_{p}\,\dfrac{1}{s+1}}=\frac{K_{p}}{s+1+K_{p}}=\frac{K_{p}}{s+(1+K_{p})},
ou seja, o polo da malha fechada está em s=-(1+K_{p}), mostrando como K_{p} desloca o polo para a esquerda (maior amortecimento) quando K_{p}>0.

Resposta

T(s)=\frac{K_{p}\,G(s)}{1+K_{p}\,G(s)}

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