Calcule o comprimento da curva
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva definida pela função $ y = x^{\frac{3}{2}} $ no intervalo de $ x = 0 $ até $ x = 5 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente o cálculo de comprimento de arco de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é o comprimento de uma curva. Imagine que você tem uma estrada sinuosa e quer saber a extensão total dela. No cálculo, usamos uma fórmula de integral para calcular justamente esse comprimento. A fórmula geral para o comprimento de uma curva $ y = f(x) $ de $ x = a $ até $ x = b $ é:
Essa integral basicamente soma todas as pequenas partes do comprimento da curva.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função $ y = x^{\frac{3}{2}} $. A derivada nos dá a inclinação da curva em cada ponto, e é necessária para a fórmula do comprimento da curva.
Passo 4
Com a derivada em mãos, vamos substituir na fórmula do comprimento da curva. Primeiro, elevamos a derivada ao quadrado:
Passo 5
Agora, somamos 1 a esse valor dentro da raiz quadrada da integral:
Então, a fórmula do comprimento da curva fica:
Passo 6
Vamos resolver essa integral. Para simplificar, podemos fazer uma substituição. Vamos deixar:
Substituindo na integral:
Voltando para $ x $:
Passo 7
Agora, vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para $ x = 5 $:
Então,
Para $ x = 0 $:
Então,
Agora, substituindo na expressão do comprimento:
Resposta
O comprimento da curva $ y = x^{\frac{3}{2}} $ no intervalo de $ x = 0 $ a $ x = 5 $ é aproximadamente 12,41 unidades.