Calcule o comprimento da curva y=x^3 / 2 no intervalo [0,5].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva definida pela função $ y = x^{\frac{3}{2}} $ no intervalo de $ x = 0 $ até $ x = 5 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente o cálculo de comprimento de arco de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é o comprimento de uma curva. Imagine que você tem uma estrada sinuosa e quer saber a extensão total dela. No cálculo, usamos uma fórmula de integral para calcular justamente esse comprimento. A fórmula geral para o comprimento de uma curva $ y = f(x) $ de $ x = a $ até $ x = b $ é:
y = f(x)
Essa integral basicamente soma todas as pequenas partes do comprimento da curva.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função $ y = x^{\frac{3}{2}} $. A derivada nos dá a inclinação da curva em cada ponto, e é necessária para a fórmula do comprimento da curva.
y = x^32

Passo 4

Com a derivada em mãos, vamos substituir na fórmula do comprimento da curva. Primeiro, elevamos a derivada ao quadrado:
( dydx )^2 = ( 32 x^12 )^2 = 94 x

Passo 5

Agora, somamos 1 a esse valor dentro da raiz quadrada da integral:
raiz1 + 94x
Então, a fórmula do comprimento da curva fica:
L = integral0^5 raiz1 + 94x , dx

Passo 6

Vamos resolver essa integral. Para simplificar, podemos fazer uma substituição. Vamos deixar:
u = 1 + 94x dudx = 94 dx = 49 du
Substituindo na integral:
L = integral raizu cdot 49 , du = 49 integral u^12 , du = 49 cdot 23 u^32 + C = 827 u^32 + C
Voltando para $ x $:
x

Passo 7

Agora, vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para $ x = 5 $:
x = 5
Então,
1 + 94 times 5 = 1 + 454 = 494
Para $ x = 0 $:
( 494 )^32 = ( 72 )^3 = 3438
Então,
x = 0
Agora, substituindo na expressão do comprimento:
1 + 94 times 0 = 1

Resposta

O comprimento da curva $ y = x^{\frac{3}{2}} $ no intervalo de $ x = 0 $ a $ x = 5 $ é aproximadamente 12,41 unidades.

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