A associação dos proprietários de indústrias metalúrgicas está muito preocupada com o percentual de operários que se acidentam no local de trabalho, cujo valor, nos últimos anos, tem sido de
. Após a implantação de um novo programa de prevenção de acidentes, 400 destes operários foram aleatoriamente selecionados e constatou-se que 80 se acidentaram no trabalho. Nestas condições, qual seria sua conclusão a respeito deste novo programa de prevenção de acidentes? Utilize um nível de significância de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre a porcentagem de operários que se acidentam no trabalho numa indústria metalúrgica. Inicialmente, essa taxa era de 25%. A associação implementou um novo programa de prevenção de acidentes e, para ver se ele funcionou, selecionaram 400 operários aleatoriamente. Desses, 80 se acidentaram. Nosso objetivo é descobrir se esse novo programa realmente diminuiu a taxa de acidentes, usando um nível de significância de 5%. Vamos precisar usar testes de hipótese para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar. A hipótese nula (H₀) é que o programa não mudou a taxa de acidentes, ou seja, a proporção é ainda 25%. A hipótese alternativa (H₁) é que o programa reduziu essa taxa, então a proporção é menor que 25%.
Matematicamente:
- H₀: p = 0,25
- H₁: p < 0,25
Passo 3
Agora, vamos calcular a proporção observada de acidentes no nosso grupo de 400 operários. Isso é simplesmente o número de acidentes dividido pelo total de operários:
Então, a proporção observada é 20%.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o erro padrão da proporção sob a hipótese nula. O erro padrão é uma medida de quanto esperamos que a proporção amostral varie, e é calculado usando a fórmula:
Onde:
- $ p_0 $ é a proporção sob a hipótese nula (0,25).
- $ n $ é o tamanho da amostra (400).
Vamos calcular:
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor do teste, que nos diz quantos desvios padrão nossa proporção observada está da proporção esperada sob a hipótese nula. A fórmula é:
Substituindo os valores:
Passo 6
Com o valor de $ z $ calculado, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esse valor no contexto da distribuição normal padrão. Esse valor nos ajudará a determinar se a diferença observada é estatisticamente significativa.
Consultando uma tabela de distribuição normal ou usando uma calculadora, vemos que um z de -2,31 corresponde a uma probabilidade de aproximadamente 0,0104 (1,04%).
Passo 7
Agora, vamos comparar essa probabilidade (p-valor) com o nível de significância que adotamos, que é de 5% (0,05). Se o p-valor for menor que 0,05, rejeitamos a hipótese nula.
Aqui, 0,0104 < 0,05, então rejeitamos H₀.
Resposta
Com base nos cálculos, há evidências estatísticas suficientes para concluir que o novo programa de prevenção de acidentes reduziu a taxa de acidentes no trabalho, com um nível de significância de 5 %.