Em uma fábrica de lâmpadas, as linhas de fabricação 1, 2 e 3 respondem por 50%, 30% e 20% da produção respectivamente. Algumas lâmpadas saem defeituosas. A porcentagem é de 0,4 %, 0,6 % e 1,2% para as linhas 1, 2 e 3. Para evitar que elas cheguem ao mercado com defeitos todas são inspecionadas. Qual a chance de uma lâmpada defeituosa encontrada na inspeção final ter sido produzida na linha 2?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício quer. A gente tem uma fábrica de lâmpadas com três linhas de produção, cada uma responsável por uma parte da fabricação: 50% na linha 1, 30% na linha 2 e 20% na linha 3. Cada linha tem uma taxa diferente de lâmpadas defeituosas: 0,4% na linha 1, 0,6% na linha 2 e 1,2% na linha 3. Todas as lâmpadas passam por uma inspeção para pegar os defeitos. A pergunta é: qual a probabilidade de uma lâmpada defeituosa encontrada na inspeção ter vindo da linha 2?
Vamos usar conceitos de probabilidade condicional e Teorema de Bayes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que queremos achar $ P(L_2 | D) $, ou seja, a probabilidade de a lâmpada ter sido produzida na linha 2 dado que ela é defeituosa.

Passo 3

Segundo, vamos calcular a probabilidade total de uma lâmpada ser defeituosa, $ P(D) $. Isso é feito somando as probabilidades de uma lâmpada ser defeituosa em cada linha, ponderadas pela participação de cada linha na produção.
Então,
P(D)
Substituindo os valores:
P(D) = P(L1) times P(D | L1) + P(L2) times P(D | L2) + P(L3) times P(D | L3)
P(D) = 0,5 times 0,004 + 0,3 times 0,006 + 0,2 times 0,012

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema de Bayes para encontrar $ P(L_2 | D) $:
P(L2 | D)
Já temos todos os valores:
P(L2 | D) = P(L2) times P(D | L2)P(D)
P(L2 | D) = 0,3 times 0,0060,0062

Resposta

A chance de uma lâmpada defeituosa encontrada na inspeção ter sido produzida na linha 2 é de aproximadamente 29,03%.

Exercícios relacionados