Calcule o comprimento das curvas.
r(t)=(t, t) sendo 0 <= t <= 1.

Passo 1

A questão pede para calcular o comprimento da curva paramétrica r(t) = (t, t) para 0 ≤ t ≤ 1. O conteúdo aqui é comprimento de curva, e vamos precisar da fórmula que diz que L = integrala^b lVert r'(t)rVert , dt.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada do vetor posição: r’(t) = (x’(t), y’(t)). Como x(t)=t e y(t)=t, temos x’(t)=1 e y’(t)=1. Logo, a norma é lVert r'(t)rVert = raiz1^2 + 1^2 = raiz2

Passo 3

Agora montamos a integral do comprimento usando o resultado da norma constante: L = integral0^1 raiz2 , dt Como raiz2 é constante, isso dá L = raiz2 integral0^1 dt = raiz2 cdot (1 - 0) = raiz2

Resposta

raiz2

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