Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que depende de
,
e
, e essas três funções, por sua vez, dependem de
e
. O objetivo é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
quando
. Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que ajuda a derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as funções que temos:
Passo 3
Agora, vamos lembrar da Regra da Cadeia para derivadas parciais. Se
depende de
,
e
, que dependem de
e
, então as derivadas parciais de
em relação a
são:
E de forma similar para
.
Passo 4
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias.
Primeiro, derivamos
em relação a
,
e
:
Passo 5
Agora, derivamos
,
e
em relação a
e
:
Passo 6
Vamos agora montar as expressões para
e
:
Passo 7
Agora, vamos substituir
e
nas funções
,
e
:
Passo 8
Substituindo
,
e
nas expressões das derivadas parciais:
Primeiro, calculamos
Agora:
Resposta
As derivadas parciais de
quando
são: