Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas. R=ln (u^2+v^2+w^2), u=x+2 y, v=2 x-y, w=2 x y;
partial Rpartial x, partial Rpartial y quando x=y=1

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que depende de , e , e essas três funções, por sua vez, dependem de e . O objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e quando . Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as funções que temos:
R = ln(u^2 + v^2 + w^2)
u = x + 2y
v = 2x - y
w = 2xy

Passo 3

Agora, vamos lembrar da Regra da Cadeia para derivadas parciais. Se partial Rpartial x = partial Rpartial u cdot partial upartial x + partial Rpartial v cdot partial vpartial x + partial Rpartial w cdot partial wpartial x depende de , e , que dependem de e , então as derivadas parciais de em relação a são:
E de forma similar para .

Passo 4

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias.
Primeiro, derivamos partial Rpartial u = 2uu^2 + v^2 + w^2 em relação a partial Rpartial v = 2vu^2 + v^2 + w^2 , partial Rpartial w = 2wu^2 + v^2 + w^2 e :

Passo 5

Agora, derivamos partial upartial x = 1 partial upartial y = 2 , partial vpartial x = 2 partial vpartial y = -1 e partial wpartial x = 2y partial wpartial y = 2x em relação a e :

Passo 6

Vamos agora montar as expressões para partial Rpartial x = 2uu^2 + v^2 + w^2 cdot 1 + 2vu^2 + v^2 + w^2 cdot 2 + 2wu^2 + v^2 + w^2 cdot 2y e partial Rpartial y = 2uu^2 + v^2 + w^2 cdot 2 + 2vu^2 + v^2 + w^2 cdot (-1) + 2wu^2 + v^2 + w^2 cdot 2x :

Passo 7

Agora, vamos substituir u = 1 + 2(1) = 3 e v = 2(1) - 1 = 1 nas funções w = 2(1)(1) = 2 , e :

Passo 8

Substituindo partial Rpartial x = 2 cdot 314 cdot 1 + 2 cdot 114 cdot 2 + 2 cdot 214 cdot 2(1) = 614 + 414 + 814 = 1814 = 97 , partial Rpartial y = 2 cdot 314 cdot 2 + 2 cdot 114 cdot (-1) + 2 cdot 214 cdot 2(1) = 1214 - 214 + 814 = 1814 = 97 e nas expressões das derivadas parciais:
Primeiro, calculamos
Agora:

Resposta

As derivadas parciais de partial Rpartial x = 97 quando partial Rpartial y = 97 são:

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