Calcule a tangente das curvas no ponto indicado
alpha(t)=(t^2, t^3-3 t), (3,0)

Passo 1

Na questão, a gente tem uma curva paramétrica alpha(t)=(t^2,,t^3-3t) e quer achar as retas tangentes no ponto (3,0). O conteúdo é curvas paramétricas e vamos precisar usar derivadas de cada componente para obter o vetor tangente.

Passo 2

Para encontrar em que parâmetro t a curva passa por (3,0), igualamos as componentes: t^2=3 e t^3-3t=0. Da primeira vem t=pmraiz3. Substituindo em t^3-3t dá zero em ambos os casos, então há dois parâmetros, t=raiz3 e t=-raiz3.

Passo 3

Derivando cada componente, o vetor tangente é alpha'(t)=(2t,,3t^2-3). A inclinação da reta tangente é dado por m=dfracdy/dtdx/dt=dfrac3t^2-32t.

Passo 4

Para t=raiz3, temos alpha'(raiz3)=(2raiz3,6), logo a inclinação é m1=62raiz3=raiz3 A reta tangente satisfaz y-0=raiz3(x-3), ou seja y=raiz3x-3raiz3.

Passo 5

Para t=-raiz3, temos alpha'(-raiz3)=(-2raiz3,6), logo a inclinação é m2=6-2raiz3=-raiz3 Assim a reta é y-0=-raiz3(x-3), ou seja y=-raiz3x+3raiz3.

Resposta

As tangentes no ponto (3,0) são as retas y=raiz3x-3raiz3 e y=-raiz3x+3raiz3.

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