Calcule o comprimento do gráfico da função dada.
y=43 x+3,0 <= x <= 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento do gráfico da função linear y=tfrac43x+3 no intervalo 0<= x<=2. O conteúdo usado é o comprimento de arco de uma curva no plano, e vamos precisar da fórmula de comprimento de arco L=integrala^braiz1+(y')^2,dx.

Passo 2

Primeiro encontramos a derivada da função. Como y=tfrac43x+3, temos
y'=ddxl(tfrac43x+3r)=43
Substituindo na fórmula de comprimento de arco:
L=integral0^2raiz1+l(tfrac43r)^2,dx

Passo 3

Agora simplificamos o integrando. Calculamos
1+l(tfrac43r)^2=1+tfrac169=tfrac259,
e a raiz fica
raiztfrac259=53
Então o comprimento é
L=integral0^253,dx

Passo 4

Por fim, integramos uma constante. Temos
L=53integral0^2dx=53l[xr]0^2=53cdot2=103

Resposta

103

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