Resolva cada uma das EDOs ou PVIs seguintes:
3 x(y^2+1)+y(x^2-2) y^prime=0;

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a EDO
M(x,y)+N(x,y)
y′=0 com
M(x,y)=3x(y²+1) e N(x,y)=y(x²−2). O conteúdo aqui é equações diferenciais na forma M dx+N dy=0, e vamos precisar usar a teoria de equações exatas e fator integrante.

Passo 2

Verificamos se a forma M dx+N dy=0 é exata calculando as derivadas parciais:
∂M/∂y=6xy e ∂N/∂x=2xy. Como 6xy≠2xy, não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante μ(x) só em x usando a fórmula
μ(x)=exp(∫(∂M/∂y−∂N/∂x)/N dx).
Calculando o integrando:
(∂M/∂y−∂N/∂x)/N=(6xy−2xy)/[y(x²−2)]=4x/(x²−2).
Então
μ(x)=exp(∫4x/(x²−2)dx)=exp(2 ln|x²−2|)=(x²−2)².

Passo 4

Multiplicamos a EDO original por μ(x) para obter M̃ dx+Ñ dy=0 com
M̃=3x(y²+1)(x²−2)²
Ñ=y(x²−2)³.
Agora ∂M̃/∂y=6xy(x²−2)² e ∂Ñ/∂x=6xy(x²−2)², logo a forma fica exata.

Passo 5

Como é exata, existe φ(x,y) tal que φ_x=M̃. Integramos em x mantendo y constante:
φ(x,y)=∫3x(y²+1)(x²−2)² dx + h(y) =(y²+1)(x²−2)³2+h(y) ²²²²²³

Passo 6

Para determinar h(y), impomos φ_y=Ñ:
φ_y=2y·\frac{(x²−2)³}{2}+h’(y)=y(x²−2)³+h’(y)
que deve igualar Ñ=y(x²−2)³. Daí h’(y)=0, logo h é constante.

Passo 7

Concluímos que a solução geral implícita é
(x²−2)³(y²+1)=C, ²³²com C constante de integração.

Resposta

(x²−2)³(y²+1)=C

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