Calcule o comprimento de onda ( nm ) associado a uma bola de golfe de
viajando a uma velocidade de
. A que velocidade uma bola de golfe deve viajar para que tenha um comprimento de onda de
? Interprete os resultados encontrados.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular o comprimento de onda associado a uma bola de golfe de
viajando a . - Determinar a que velocidade essa mesma bola deve viajar para ter comprimento de onda
.
Informações e dados fornecidos (peguei-os do enunciado):
- Massa da bola:
. - Velocidade no primeiro item:
. - Comprimento de onda pedido no segundo item:
.
Conversões úteis que vamos usar:
- Converter massa para o SI:
. - Converter comprimento de onda de
para : .
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas):
- A relação de de Broglie diz que toda partícula com momento linear
tem um comprimento de onda associado dado por
onde
é a constante de Planck e
é o momento linear da partícula.
- Para uma partícula não-relativística com massa
e velocidade , o momento é
- Portanto, para velocidades muito menores que a da luz usamos
Explicando as letras:
-
é o comprimento de onda (unidade: metro, ); -
é a constante de Planck, ; -
é a massa em quilogramas ( ); -
é a velocidade em .
Cheque de unidades (rápido):
tem unidades
; dividindo por
com unidades
sobra
, ou seja, comprimento — consistente.
Passo 3
Cálculo do comprimento de onda para
e
.
Passos numéricos:
- Converter a massa para o SI:
- Aplicar
com :
- Calcular o denominador:
. - Dividindo:
- Converter para
(multiplicar por ):
Arredondando com números significativos compatíveis com os dados (aprox. 2 algarismos significativos):
Passo 4
Determinar a velocidade
necessária para que
.
Passos numéricos:
- Converter
para metros:
- Usar
. Com :
- Calcular o denominador:
. - Dividindo:
Arredondando para 2 algarismos significativos:
Passo 5
Interpretação física e comentário didático (calma, é normal ficar chocado!):
- O comprimento de onda calculado para a bola de golfe movendo-se a
é . Isso é absurdamente pequeno — muito, muito menor que qualquer escala atômica ou nuclear (lembre: átomos têm tamanhos da ordem de ). - Para obter um comprimento de onda “grande” do tipo
(ainda muito pequeno em termos cotidianos), a velocidade necessária para a bola seria da ordem de , ou seja, praticamente zero — dezenas de ordens de magnitude menores que qualquer velocidade mensurável e menor que movimentos térmicos, deslocamentos por vibração, etc. - Conclusão física: objetos macroscópicos (massa grande) têm comprimentos de onda de de Broglie absolutamente negligenciáveis nas condições normais; efeitos quânticos de interferência e onda só são significativos para partículas muito leves (elétrons, nêutrons, átomos frios) ou quando se trabalha com massas muito pequenas e/ ou comprimentos de onda comparáveis às dimensões experimentais. Para uma bola de golfe não há nenhuma manifestação observável de comportamento de onda em velocidades usuais.
- Observação sobre aproximação: usamos a fórmula não-relativística
; ela é adequada aqui porque as velocidades envolvidas (mesmo aquela absurdamente pequena) são muito menores que a velocidade da luz.