Calcule o comprimento de onda ( nm ) associado a uma bola de golfe de 1,0 \times 10^{2} \mathrm{~g} viajando a uma velocidade de 30 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}. A que velocidade uma bola de golfe deve viajar para que tenha um comprimento de onda de 5,6 \times 10^{-3} \mathrm{~nm} ? Interprete os resultados encontrados.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular o comprimento de onda associado a uma bola de golfe de 1,0\times10^{2}\\ \mathrm{g} viajando a 30\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}.
  • Determinar a que velocidade essa mesma bola deve viajar para ter comprimento de onda 5,6\times10^{-3}\\ \mathrm{nm}.
Informações e dados fornecidos (peguei-os do enunciado):
  • Massa da bola: m = 1,0\times10^{2}\\ \mathrm{g}.
  • Velocidade no primeiro item: v = 30\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}.
  • Comprimento de onda pedido no segundo item: \lambda_{\text{pedida}} = 5,6\times10^{-3}\\ \mathrm{nm}.
Conversões úteis que vamos usar:
  • Converter massa para o SI: 1{,}0\times10^{2}\\ \mathrm{g} = 0{,}100\\ \mathrm{kg}.
  • Converter comprimento de onda de \mathrm{nm} para \mathrm{m}: 1\\ \mathrm{nm} = 1\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas):
  • A relação de de Broglie diz que toda partícula com momento linear p tem um comprimento de onda associado dado por
\lambda=\frac{h}{p},
onde h é a constante de Planck e p é o momento linear da partícula.
  • Para uma partícula não-relativística com massa m e velocidade v, o momento é
p = m v.
  • Portanto, para velocidades muito menores que a da luz usamos
\lambda=\frac{h}{m v}.
Explicando as letras:
  • \lambda é o comprimento de onda (unidade: metro, \mathrm{m});
  • h é a constante de Planck, h = 6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s};
  • m é a massa em quilogramas ( \mathrm{kg});
  • v é a velocidade em \mathrm{m\\ s^{-1}}.
Cheque de unidades (rápido): h tem unidades \mathrm{J\,s} = \mathrm{kg\,m^{2}\,s^{-1}}\cdot s = \mathrm{kg\,m^{2}\,s^{-1}}; dividindo por m v com unidades \mathrm{kg\,(m\,s^{-1})}=\mathrm{kg\,m\,s^{-1}} sobra \mathrm{m}, ou seja, comprimento — consistente.

Passo 3

Cálculo do comprimento de onda para m=1{,}0\times10^{2}\\ \mathrm{g} e v=30\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}.
Passos numéricos:
  • Converter a massa para o SI:
m = 1{,}0\times10^{2}\\ \mathrm{g} = 0{,}100\\ \mathrm{kg}.
  • Aplicar \lambda=\dfrac{h}{m v} com h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}:
\lambda = \frac{6{,}62607015\times10^{-34}}{0{,}100\cdot 30}\\ \mathrm{m}.
  • Calcular o denominador: 0{,}100\cdot30 = 3{,}0.
  • Dividindo:
\lambda = \frac{6{,}62607015\times10^{-34}}{3{,}0} = 2{,}20869005\times10^{-34}\\ \mathrm{m}.
  • Converter para \mathrm{nm} (multiplicar por 10^{9}):
\lambda = 2{,}20869005\times10^{-34}\times10^{9} = 2{,}20869005\times10^{-25}\\ \mathrm{nm}.
Arredondando com números significativos compatíveis com os dados (aprox. 2 algarismos significativos):
\lambda \approx 2{,}2\times10^{-25}\\ \mathrm{nm}.

Passo 4

Determinar a velocidade v necessária para que \lambda = 5{,}6\times10^{-3}\\ \mathrm{nm}.
Passos numéricos:
  • Converter \lambda para metros:
\lambda = 5{,}6\times10^{-3}\\ \mathrm{nm} = 5{,}6\times10^{-3}\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 5{,}6\times10^{-12}\\ \mathrm{m}.
  • Usar v = \dfrac{h}{m\lambda}. Com m=0{,}100\\ \mathrm{kg}:
v = \frac{6{,}62607015\times10^{-34}}{0{,}100\cdot5{,}6\times10^{-12}}\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}.
  • Calcular o denominador: 0{,}100\cdot5{,}6\times10^{-12} = 5{,}6\times10^{-13}.
  • Dividindo:
v = \frac{6{,}62607015\times10^{-34}}{5{,}6\times10^{-13}} = 1{,}183584\ldots\times10^{-21}\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}.
Arredondando para 2 algarismos significativos:
v \approx 1{,}2\times10^{-21}\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}.

Passo 5

Interpretação física e comentário didático (calma, é normal ficar chocado!):
  • O comprimento de onda calculado para a bola de golfe movendo-se a 30\\ \mathrm{m\\ s^{-1}} é \lambda\approx2{,}2\times10^{-25}\\ \mathrm{nm}. Isso é absurdamente pequeno — muito, muito menor que qualquer escala atômica ou nuclear (lembre: átomos têm tamanhos da ordem de 0{,}1\\ \mathrm{nm}=10^{-1}\\ \mathrm{nm}).
  • Para obter um comprimento de onda “grande” do tipo 5{,}6\times10^{-3}\\ \mathrm{nm} (ainda muito pequeno em termos cotidianos), a velocidade necessária para a bola seria da ordem de 10^{-21}\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}, ou seja, praticamente zero — dezenas de ordens de magnitude menores que qualquer velocidade mensurável e menor que movimentos térmicos, deslocamentos por vibração, etc.
  • Conclusão física: objetos macroscópicos (massa grande) têm comprimentos de onda de de Broglie absolutamente negligenciáveis nas condições normais; efeitos quânticos de interferência e onda só são significativos para partículas muito leves (elétrons, nêutrons, átomos frios) ou quando se trabalha com massas muito pequenas e/ ou comprimentos de onda comparáveis às dimensões experimentais. Para uma bola de golfe não há nenhuma manifestação observável de comportamento de onda em velocidades usuais.
  • Observação sobre aproximação: usamos a fórmula não-relativística p=mv; ela é adequada aqui porque as velocidades envolvidas (mesmo aquela absurdamente pequena) são muito menores que a velocidade da luz.

Resposta

\lambda \approx 2{,}2\times10^{-25}\\ \mathrm{nm}
v \approx 1{,}2\times10^{-21}\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}

Exercícios relacionados