Calcule os comprimentos das curvas polares:
r=2(1+\sin \theta), 0 \leq \theta \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado dá a curva polar r=2(1+\sin\theta) para 0\leq \theta \leq 2\pi e pede o comprimento total dessa curva.
Informações relevantes que temos:
  • A equação polar da curva é r(\theta)=2(1+\sin\theta).
  • O intervalo de parâmetro é \theta\in[0,2\pi].
    A tarefa é calcular o comprimento da curva correspondente a esse r(\theta) nesse intervalo.

Passo 2

Fórmula do comprimento em coordenadas polares (explicação e derivação curta e didática).
Se uma curva é dada em coordenadas polares por r=r(\theta), podemos escrever as coordenadas Cartesianas como
x(\theta)=r(\theta)\cos\theta,\qquad y(\theta)=r(\theta)\sin\theta.
O elemento de arco é
ds=\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}\,d\theta.
Calculando as derivadas (vou mostrar passo a passo):
\frac{dx}{d\theta}=r'(\theta)\cos\theta - r(\theta)\sin\theta,
\frac{dy}{d\theta}=r'(\theta)\sin\theta + r(\theta)\cos\theta.
Somando os quadrados:
\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2 = r'(\theta)^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta) + r(\theta)^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)
\qquad\qquad\qquad\qquad{}= r'(\theta)^2 + r(\theta)^2,
pois \cos^2\theta+\sin^2\theta=1. Portanto o comprimento total entre \theta=a e \theta=b é
L=\int_a^b \sqrt{r(\theta)^2 + \bigl(r'(\theta)\bigr)^2}\,d\theta.
Esta é a fórmula que vamos aplicar com a=0 e b=2\pi.

Passo 3

Calcular r'(\theta) para a nossa função r(\theta)=2(1+\sin\theta).
Derivando:
r'(\theta)=2\cos\theta.

Passo 4

Calcular a soma r(\theta)^2 + \bigl(r'(\theta)\bigr)^2 e simplificar passo a passo.
Primeiro
r(\theta)^2 = \bigl(2(1+\sin\theta)\bigr)^2 = 4(1+2\sin\theta+\sin^2\theta).
E
\bigl(r'(\theta)\bigr)^2 = (2\cos\theta)^2 = 4\cos^2\theta.
Somando:
r^2+(r')^2 = 4(1+2\sin\theta+\sin^2\theta) + 4\cos^2\theta.
Agrupando \sin^2\theta+\cos^2\theta=1:
r^2+(r')^2 = 4(1+2\sin\theta+1) = 4(2+2\sin\theta)=8(1+\sin\theta).

Passo 5

Obter a raiz quadrada que aparece na integral:
\sqrt{r^2+(r')^2}=\sqrt{8(1+\sin\theta)}=2\sqrt{2}\,\sqrt{1+\sin\theta}.
Assim o comprimento é
L=\int_{0}^{2\pi} 2\sqrt{2}\,\sqrt{1+\sin\theta}\,d\theta =2\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}\sqrt{1+\sin\theta}\,d\theta.

Passo 6

Simplificar a expressão \sqrt{1+\sin\theta} usando uma identidade trigonométrica útil e explicar por que fazemos isso.
Observe que
1+\sin\theta = \sin^2\!\frac{\theta}{2} + \cos^2\!\frac{\theta}{2} + 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2} = \bigl(\sin\frac{\theta}{2}+\cos\frac{\theta}{2}\bigr)^2.
Portanto
\sqrt{1+\sin\theta}=\bigl|\sin\frac{\theta}{2}+\cos\frac{\theta}{2}\bigr|.
É conveniente escrever isso como uma única seno deslocada:
\sin\frac{\theta}{2}+\cos\frac{\theta}{2}=\sqrt{2}\,\sin\!\Bigl(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\Bigr),
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\sqrt{1+\sin\theta}=\sqrt{2}\,\Bigl|\sin\!\Bigl(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr|.
Substituindo na integral:
L=2\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}\sqrt{1+\sin\theta}\,d\theta =2\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}\sqrt{2}\,\Bigl|\sin\!\Bigl(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr|\,d\theta =4\int_{0}^{2\pi}\Bigl|\sin\!\Bigl(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr|\,d\theta.

Passo 7

Tratar o valor absoluto e fazer mudança de variável para integrar facilmente.
Faço u=\dfrac{\theta}{2}+\dfrac{\pi}{4}. Então d\theta=2\,du. Os limites: quando \theta=0 tem u=\dfrac{\pi}{4}; quando \theta=2\pi tem u=\dfrac{2\pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}=\pi+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{5\pi}{4}. Assim
L=4\int_{\theta=0}^{2\pi}\Bigl|\sin\!\Bigl(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr|\,d\theta =4\int_{u=\pi/4}^{5\pi/4} |\sin u|\cdot 2\,du =8\int_{\pi/4}^{5\pi/4} |\sin u|\,du.
Agora precisamos calcular \displaystyle\int_{\pi/4}^{5\pi/4} |\sin u|\,du. Note que \sin u é positiva em (0,\pi) e negativa em (\pi,2\pi). Nosso intervalo [\pi/4,5\pi/4] cruza u=\pi, então vamos dividir em duas partes:
\int_{\pi/4}^{5\pi/4} |\sin u|\,du =\int_{\pi/4}^{\pi} \sin u\,du + \int_{\pi}^{5\pi/4} (-\sin u)\,du.

Passo 8

Calcular as duas integrais explicitamente (mostrando as contas):
Primeira integral:
\int_{\pi/4}^{\pi}\sin u\,du = \bigl[-\cos u\bigr]_{\pi/4}^{\pi} = \bigl(-\cos\pi\bigr) - \bigl(-\cos\frac{\pi}{4}\bigr) = ( -(-1)) - ( -\tfrac{\sqrt{2}}{2} ) = 1 + \tfrac{\sqrt{2}}{2}.
Segunda integral:
\int_{\pi}^{5\pi/4} (-\sin u)\,du = \bigl[\cos u\bigr]_{\pi}^{5\pi/4} = \cos\frac{5\pi}{4} - \cos\pi = \bigl(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr) - (-1) = 1 - \tfrac{\sqrt{2}}{2}.
Somando as duas partes:
\int_{\pi/4}^{5\pi/4} |\sin u|\,du = \left(1 + \tfrac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(1 - \tfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2.

Passo 9

Voltar ao comprimento usando o resultado da integral:
L = 8 \cdot \int_{\pi/4}^{5\pi/4} |\sin u|\,du = 8 \cdot 2 = 16.
Então o comprimento total da curva polar r=2(1+\sin\theta) em 0\leq\theta\leq2\pi é 16.

Resposta

16

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