Calcule os comprimentos das curvas polares: r=2(1+\sin \theta), 0 \leq \theta \leq 2 \pi
Passo 1
O enunciado dá a curva polar r=2(1+\sin\theta) para 0\leq \theta \leq 2\pi e pede o comprimento total dessa curva.
Informações relevantes que temos:
A equação polar da curva é r(\theta)=2(1+\sin\theta).
O intervalo de parâmetro é \theta\in[0,2\pi].
A tarefa é calcular o comprimento da curva correspondente a esse r(\theta) nesse intervalo.
Passo 2
Fórmula do comprimento em coordenadas polares (explicação e derivação curta e didática).
Se uma curva é dada em coordenadas polares por r=r(\theta), podemos escrever as coordenadas Cartesianas como
Tratar o valor absoluto e fazer mudança de variável para integrar facilmente.
Faço u=\dfrac{\theta}{2}+\dfrac{\pi}{4}. Então d\theta=2\,du. Os limites: quando \theta=0 tem u=\dfrac{\pi}{4}; quando \theta=2\pi tem u=\dfrac{2\pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}=\pi+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{5\pi}{4}. Assim
Agora precisamos calcular \displaystyle\int_{\pi/4}^{5\pi/4} |\sin u|\,du. Note que \sin u é positiva em (0,\pi) e negativa em (\pi,2\pi). Nosso intervalo [\pi/4,5\pi/4] cruza u=\pi, então vamos dividir em duas partes: