Encontre as áreas das superfícies geradas pela rotação das curvas polares em torno do eixo indicado:
, eixo polar
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a área da superfície gerada pela rotação da curva polar
, para
, em torno do eixo polar. Dados fornecidos e perguntas claras:
- Curva polar:
. - Intervalo:
. - Eixo de rotação: eixo polar (ou seja, o eixo
, equivalente ao eixo em coordenadas cartesianas). - Objetivo: calcular a área da superfície obtida ao girar essa curva em torno do eixo polar.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula geral que usamos para área de superfície gerada por rotação: se uma curva plana é girada em torno de um eixo, a área é a integral da circunferência descrita por cada elemento de arco. Especificamente, para rotação em torno do eixo
(que é o mesmo que o eixo polar aqui), a fórmula é
onde
é o elemento de comprimento de arco da curva. Em coordenadas polares cada ponto tem coordenadas cartesianas
Ao girar em torno do eixo polar (eixo
), a distância do ponto ao eixo é o valor absoluto de
, aqui
. Então precisamos de
em função de
.
Passo 3
Vamos obter
para uma curva polar
. Definimos as funções
O elemento de arco é
Calculando as derivadas:
Agora somamos os quadrados:
pois
. Logo
Passo 4
Substituímos na fórmula da área: a distância ao eixo é
e
é o que acabamos de obter. Assim a área é
Agora aplicamos ao caso dado
.
Passo 5
Calcule
para
:
Agora calcule
:
Daí
Passo 6
Substituímos tudo na integral de
. Temos
e
, então
Simplificando os fatores:
Uma primitiva simples: note que
em derivada, pois
. Assim
Aplicando aos limites:
Passo 7
Interpretação e checagem rápida: o cálculo ficou agradável porque
tornou-se constante
, simplificando muito a integral. O resultado final é a área da superfície gerada pela rotação da porção do círculo (na verdade a curva
é um círculo de raio
deslocado) sobre o intervalo dado; a área obtida é
. Mantenha confiança — a técnica é sempre: converter para coordenadas cartesianas se preciso, usar
e calcular
corretamente em termos de
.