Encontre as áreas das superfícies geradas pela rotação das curvas polares em torno do eixo indicado:
r=2 \cos \theta, 0 \leq \theta \leq \pi / 2, eixo polar

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a área da superfície gerada pela rotação da curva polar r=2\cos\theta, para 0\leq\theta\leq\pi/2, em torno do eixo polar. Dados fornecidos e perguntas claras:
  • Curva polar: r(\theta)=2\cos\theta.
  • Intervalo: \theta\in[0,\pi/2].
  • Eixo de rotação: eixo polar (ou seja, o eixo \theta=0, equivalente ao eixo x em coordenadas cartesianas).
  • Objetivo: calcular a área da superfície obtida ao girar essa curva em torno do eixo polar.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula geral que usamos para área de superfície gerada por rotação: se uma curva plana é girada em torno de um eixo, a área é a integral da circunferência descrita por cada elemento de arco. Especificamente, para rotação em torno do eixo x (que é o mesmo que o eixo polar aqui), a fórmula é
S=\int_{a}^{b} 2\pi\cdot(\text{distância do ponto ao eixo})\;ds,â
onde ds é o elemento de comprimento de arco da curva. Em coordenadas polares cada ponto tem coordenadas cartesianas
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.
Ao girar em torno do eixo polar (eixo x), a distância do ponto ao eixo é o valor absoluto de y, aqui y=r\sin\theta. Então precisamos de ds em função de \theta.

Passo 3

Vamos obter ds para uma curva polar r(\theta). Definimos as funções
x(\theta)=r(\theta)\cos\theta,\qquad y(\theta)=r(\theta)\sin\theta.
O elemento de arco é
ds=\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}\,d\theta.
Calculando as derivadas:
\frac{dx}{d\theta}=r'(\theta)\cos\theta-r(\theta)\sin\theta,
\frac{dy}{d\theta}=r'(\theta)\sin\theta+r(\theta)\cos\theta.
Agora somamos os quadrados:
\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2 = r'(\theta)^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)+r(\theta)^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta) = r'(\theta)^2 + r(\theta)^2,
pois \cos^2\theta+\sin^2\theta=1. Logo
ds=\sqrt{r'(\theta)^2+r(\theta)^2}\;d\theta.

Passo 4

Substituímos na fórmula da área: a distância ao eixo é r(\theta)\sin\theta e ds é o que acabamos de obter. Assim a área é
S=\int_{0}^{\pi/2} 2\pi\cdot\big(r(\theta)\sin\theta\big)\cdot\sqrt{r'(\theta)^2+r(\theta)^2}\;d\theta.
Agora aplicamos ao caso dado r(\theta)=2\cos\theta.

Passo 5

Calcule r'(\theta) para r(\theta)=2\cos\theta:
r'(\theta) = \frac{d}{d\theta}(2\cos\theta) = -2\sin\theta.
Agora calcule r'(\theta)^2 + r(\theta)^2:
r'(\theta)^2 + r(\theta)^2 = (-2\sin\theta)^2 + (2\cos\theta)^2 = 4\sin^2\theta + 4\cos^2\theta = 4(\sin^2\theta+\cos^2\theta)=4.
Daí
\sqrt{r'(\theta)^2 + r(\theta)^2} = \sqrt{4}=2.

Passo 6

Substituímos tudo na integral de S. Temos r(\theta)=2\cos\theta e \sqrt{r'^2+r^2}=2, então
S=\int_{0}^{\pi/2} 2\pi\cdot\big(2\cos\theta\cdot\sin\theta\big)\cdot 2\;d\theta.
Simplificando os fatores:
S=\int_{0}^{\pi/2} 8\pi \sin\theta\cos\theta\;d\theta.
Uma primitiva simples: note que \sin\theta\cos\theta=\tfrac{1}{2}\sin^2\theta' em derivada, pois \frac{d}{d\theta}(\sin^2\theta)=2\sin\theta\cos\theta. Assim
\int \sin\theta\cos\theta\;d\theta = \tfrac{1}{2}\sin^2\theta + C.
Aplicando aos limites:
S = 8\pi \cdot \left[\tfrac{1}{2}\sin^2\theta\right]_{0}^{\pi/2} = 8\pi \cdot \tfrac{1}{2}\big(\sin^2(\pi/2)-\sin^2 0\big) =4\pi\cdot(1-0)=4\pi.

Passo 7

Interpretação e checagem rápida: o cálculo ficou agradável porque \sqrt{r'^2+r^2} tornou-se constante 2, simplificando muito a integral. O resultado final é a área da superfície gerada pela rotação da porção do círculo (na verdade a curva r=2\cos\theta é um círculo de raio 1 deslocado) sobre o intervalo dado; a área obtida é 4\pi. Mantenha confiança — a técnica é sempre: converter para coordenadas cartesianas se preciso, usar S=\int 2\pi\cdot(\text{distância})\,dsâ e calcular ds corretamente em termos de \theta.

Resposta

S=4\pi

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