Encontre as áreas das regiões:
Entre
e
Entre
Passo 1
O enunciado dá duas curvas em coordenadas polares:
e
, com o parâmetro angular variando em
. A pergunta é: encontrar a área da região entre essas duas curvas para esse intervalo de
.
Informações relevantes que temos:
- Para cada
em existem dois raios: o interno e o externo . - Queremos a área da região situada entre essas duas curvas, ou seja, a área entre
e quando varre de a .
Passo 2
Explicação didática do elemento de área em coordenadas polares. Imagine um pequeno setor angular com ângulo
e raio aproximado
. A área desse setor (parte de um círculo) vale metade do produto do raio ao quadrado pelo ângulo (em radianos). Portanto o elemento de área é
Justificativa simples: área de um círculo de raio
é
. Um setor com ângulo
tem fração
do círculo inteiro, então a área é
.
Passo 3
Como queremos a área entre duas curvas
e
, para um mesmo
o anel (setor entre os dois raios) tem área infinitesimal
Integrando esse elemento sobre o intervalo de
nos dá a área total:
(Isto é consequência direta do somatório dos pequenos setores descritos no passo anterior.)
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso:
e
, com
indo de
a
. Montamos a integral:
Passo 5
Simplificamos o integrando passo a passo:
Então
Passo 6
Agora calculamos a integral básica. A primitiva de
é
. Portanto
Multiplicando pelo fator
obtemos
Passo 7
Interpretação final e ânimo: a área entre as espirais lineares
e
no intervalo
é
. Você fez bem em pedir a resolução passo a passo — essa é a técnica que cai muito na prova: montar o elemento de área polar, escrever a diferença de quadrados e integrar. Vai dar certo!