Encontre as áreas das regiões:
Entre r=\theta e r=2 \theta, 0 \leq \theta \leq \pi

Passo 1

O enunciado dá duas curvas em coordenadas polares: r=\theta e r=2\theta, com o parâmetro angular variando em 0 \leq \theta \leq \pi. A pergunta é: encontrar a área da região entre essas duas curvas para esse intervalo de \theta.
Informações relevantes que temos:
  • Para cada \theta em [0,\pi] existem dois raios: o interno r_{\text{in}}=\theta e o externo r_{\text{out}}=2\theta.
  • Queremos a área da região situada entre essas duas curvas, ou seja, a área entre r=\theta e r=2\theta quando \theta varre de 0 a \pi.

Passo 2

Explicação didática do elemento de área em coordenadas polares. Imagine um pequeno setor angular com ângulo \mathrm{d}\theta e raio aproximado r. A área desse setor (parte de um círculo) vale metade do produto do raio ao quadrado pelo ângulo (em radianos). Portanto o elemento de área é
\mathrm{d}A = \tfrac{1}{2} r^{2}\,\mathrm{d}\theta.
Justificativa simples: área de um círculo de raio r é \pi r^{2}. Um setor com ângulo \mathrm{d}\theta tem fração \mathrm{d}\theta/(2\pi) do círculo inteiro, então a área é \pi r^{2}\cdot \mathrm{d}\theta/(2\pi)=\tfrac{1}{2}r^{2}\mathrm{d}\theta.

Passo 3

Como queremos a área entre duas curvas r_{\text{out}}(\theta) e r_{\text{in}}(\theta), para um mesmo \theta o anel (setor entre os dois raios) tem área infinitesimal
\mathrm{d}A = \tfrac{1}{2}\big(r_{\text{out}}(\theta)^{2}-r_{\text{in}}(\theta)^{2}\big)\,\mathrm{d}\theta.
Integrando esse elemento sobre o intervalo de \theta nos dá a área total:
\text{Área}=\int_{\theta=a}^{\theta=b}\tfrac{1}{2}\big(r_{\text{out}}(\theta)^{2}-r_{\text{in}}(\theta)^{2}\big)\,\mathrm{d}\theta.Á
(Isto é consequência direta do somatório dos pequenos setores descritos no passo anterior.)

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso: r_{\text{out}}(\theta)=2\theta e r_{\text{in}}(\theta)=\theta, com \theta indo de 0 a \pi. Montamos a integral:
\text{Área}=\int_{0}^{\pi}\tfrac{1}{2}\big((2\theta)^{2}-(\theta)^{2}\big)\,\mathrm{d}\theta.Á

Passo 5

Simplificamos o integrando passo a passo:
(2\theta)^{2}-(\theta)^{2}=4\theta^{2}-\theta^{2}=3\theta^{2}.
Então
\text{Área}=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}3\theta^{2}\,\mathrm{d}\theta=\tfrac{3}{2}\int_{0}^{\pi}\theta^{2}\,\mathrm{d}\theta.Á

Passo 6

Agora calculamos a integral básica. A primitiva de \theta^{2} é \tfrac{\theta^{3}}{3}. Portanto
\int_{0}^{\pi}\theta^{2}\,\mathrm{d}\theta=\left[\tfrac{\theta^{3}}{3}\right]_{0}^{\pi}=\tfrac{\pi^{3}}{3}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{3}{2} obtemos
\text{Área}=\tfrac{3}{2}\cdot \tfrac{\pi^{3}}{3}=\tfrac{\pi^{3}}{2}.Á

Passo 7

Interpretação final e ânimo: a área entre as espirais lineares r=\theta e r=2\theta no intervalo [0,\pi] é \tfrac{\pi^{3}}{2}. Você fez bem em pedir a resolução passo a passo — essa é a técnica que cai muito na prova: montar o elemento de área polar, escrever a diferença de quadrados e integrar. Vai dar certo!

Resposta

\dfrac{\pi^{3}}{2}

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