1. Calcule:
    a) os comprimentos de onda da radiação eletromagnética, nas frequências de 100 MHz e 10 GHz .
    b) a energia de um fóton de luz amarela que tem comprimento de onda de 589 nm . Em que região do espectro eletromagnético estão essas frequências?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Calcular os comprimentos de onda da radiação eletromagnética para as frequências dadas: 100\\ \mathrm{MHz} e 10\\ \mathrm{GHz}.
  2. (b) Calcular a energia de um fóton cuja luz amarela tem comprimento de onda 589\\ \mathrm{nm}. Também pergunta em que região do espectro eletromagnético estão essas frequências/essa luz.
Informações dadas (listei em forma numérica para ficar claro):
\text{(i)}\quad f_1 = 100\\ \mathrm{MHz},
\text{(ii)}\quad f_2 = 10\\ \mathrm{GHz},
\text{(iii)}\quad \lambda_{\text{amarela}} = 589\\ \mathrm{nm}.
Não há outros dados numéricos no enunciado; vou usar as constantes físicas padrões: velocidade da luz no vácuo c e constante de Planck h. A resolução detalhada começa no próximo passo.

Passo 2

Fórmula básica e interpretação (aulas rápidas, sem pular etapas):
  • A relação entre comprimento de onda \lambda e frequência f para qualquer onda eletromagnética é
\lambda = \frac{c}{f},
onde c é a velocidade da luz no vácuo. Aqui:
c = 3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Explicação curta: a frequência f diz quantas oscilações passam por segundo; a onda viaja à velocidade c; se em cada segundo ocorrem f oscilações então cada oscilação “ocupou” um trecho de comprimento \lambda = c/f. Simples e poderoso.
  • Antes de aplicar, sempre transformar unidades para o sistema internacional: 1\\ \mathrm{MHz}=10^{6}\\ \mathrm{Hz} e 1\\ \mathrm{GHz}=10^{9}\\ \mathrm{Hz}. Vou escrever as conversões explicitamente.
Conversões:
f_1 = 100\\ \mathrm{MHz} = 100\times10^{6}\\ \mathrm{Hz} = 1,00\times10^{8}\\ \mathrm{Hz},
f_2 = 10\\ \mathrm{GHz} = 10\times10^{9}\\ \mathrm{Hz} = 1,00\times10^{10}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 3

Cálculo do comprimento de onda para f_1 = 1,00\times10^{8}\\ \mathrm{Hz}.
Aplicando \lambda = c/f:
\lambda_1 = \frac{c}{f_1} = \frac{3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}}{1,00\times10^{8}\\ \mathrm{Hz}}.
Fazendo a divisão de potências de 10 e os coeficientes:
\lambda_1 = 3,00\times10^{8-8}\\ \mathrm{m} = 3,00\times10^{0}\\ \mathrm{m} = 3,00\\ \mathrm{m}.
Interpretação prática: uma frequência de 100\\ \mathrm{MHz} corresponde a ondas com comprimento de onda bem grande, da ordem de metros (essa é a faixa de rádio VHF, usada por exemplo em transmissões FM).

Passo 4

Cálculo do comprimento de onda para f_2 = 1,00\times10^{10}\\ \mathrm{Hz}.
Aplicando \lambda = c/f:
\lambda_2 = \frac{3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}}{1,00\times10^{10}\\ \mathrm{Hz}}.
Dividindo:
\lambda_2 = 3,00\times10^{8-10}\\ \mathrm{m} = 3,00\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para unidades mais amigáveis:
3,00\times10^{-2}\\ \mathrm{m} = 3,0\\ \mathrm{cm}.
Interpretação prática: 10\\ \mathrm{GHz} está na região de micro-ondas (por exemplo radar, enlaces por micro-ondas, banda X por volta de 8 12\\ \mathrm{GHz}).

Passo 5

Agora vamos à energia do fóton (parte b). Fundamental: energia de um fóton pode ser escrita como
E = h f,
onde h é a constante de Planck. Usando também f = c/\lambda obtemos a forma prática para calcular direto a partir do comprimento de onda:
E = \frac{h c}{\lambda}.
Valores que usarei:
h = 6,626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}, \qquad c = 3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Primeiro converto o comprimento de onda 589\\ \mathrm{nm} para metros:
\lambda = 589\\ \mathrm{nm} = 589\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 5,89\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Cálculo numérico da energia em joules:
Calculo do produto h\cdot c:
h c = (6,626\times10^{-34})\times(3,00\times10^{8}) = 1,9878\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.
Agora dividir por \lambda:
E = \frac{1,9878\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}}{5,89\times10^{-7}\\ \mathrm{m}}.
Dividindo os coeficientes e subtraindo os expoentes:
E \approx 3,38\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Comentário: normalmente arredondamos para três algarismos significativos nesse tipo de conta experimental.

Passo 7

Converter a energia para elétron-volts (opcional mas útil na prática): 1\\ \mathrm{eV} = 1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
E_{\text{(eV)}} = \frac{3,38\times10^{-19}\\ \mathrm{J}}{1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{J/eV}} \approx 2,11\\ \mathrm{eV}.
Interpretação física: energia de \approx 2,11\\ \mathrm{eV} é típica de fótons visíveis (amarelo), consistente com a percepção de cor.

Passo 8

Classificação no espectro eletromagnético (resumo didático e prático):
  • 100\\ \mathrm{MHz} ( \lambda = 3,00\\ \mathrm{m}): região de ondas de rádio — mais especificamente VHF (very high frequency) usada em rádio FM e comunicações de longa distância.
  • 10\\ \mathrm{GHz} ( \lambda = 3,0\\ \mathrm{cm}): região de micro-ondas — usado em radar, comunicações via micro-ondas (banda X por volta de 8 12\\ \mathrm{GHz}).
  • 589\\ \mathrm{nm} ( \lambda visível, luz amarela): região visível do espectro, cor amarela (linha de sódio é famosa em 589\\ \mathrm{nm}).

Resposta

a) \lambda_{100\\ \mathrm{MHz}}=3,00\\ \mathrm{m};\\ \lambda_{10\\ \mathrm{GHz}}=3,00\times10^{-2}\\ \mathrm{m}=3,0\\ \mathrm{cm}.
b) E=3,38\times10^{-19}\\ \mathrm{J}=2,11\\ \mathrm{eV}.
Regiões do espectro: 100\\ \mathrm{MHz} — ondas de rádio (VHF); 10\\ \mathrm{GHz} — micro-ondas; 589\\ \mathrm{nm} — visível (amarelo).

Exercícios relacionados