- Descreva o significado de um nó, para os casos: (a) uma corda em vibração (b) um couro de tambor em vibração (c) uma onda eletrônica num átomo.
Passo 1
O enunciado pede que eu descreva o significado de um “nó” em três situações diferentes: (a) uma corda em vibração, (b) um couro de tambor em vibração, (c) uma onda eletrônica num átomo.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado): há oscilações estacionárias (modos normais) nos três sistemas, e precisamos dizer o que é um nó nesses contextos — ou seja, a definição geométrica/física e exemplos de como aparecem.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado): há oscilações estacionárias (modos normais) nos três sistemas, e precisamos dizer o que é um nó nesses contextos — ou seja, a definição geométrica/física e exemplos de como aparecem.
Passo 2
O que é, em termos gerais, um “nó”?
Definição prática: um nó é uma posição (ponto, linha ou superfície, dependendo do problema) onde a amplitude da oscilação é exatamente zero em todo instante do tempo. Matematicamente, para um modo estacionário cuja parte espacial é e cujo comportamento temporal é fatorável, o nó é o conjunto de pontos
que satisfazem
Definição prática: um nó é uma posição (ponto, linha ou superfície, dependendo do problema) onde a amplitude da oscilação é exatamente zero em todo instante do tempo. Matematicamente, para um modo estacionário cuja parte espacial é
Explicação intuitiva: imagine a corda vibrando em pé — há pontos que nunca se movem: esses são os nós. Entre dois nós há uma região que oscila com máxima amplitude (antinode). O nó separa regiões que normalmente oscilam com fases opostas (quando o padrão mudar de sinal entre lados do nó).
Passo 3
Caso (a): corda em vibração — apresentação do modelo e identificação de nós.
Modelo simples: corda fixa nas duas extremidades de comprimento . As soluções estacionárias (modos normais) são da forma
Modelo simples: corda fixa nas duas extremidades de comprimento
onde
é a coordenada ao longo da corda,
é o número do modo,
é o número de onda e
a frequência angular do modo. Para a corda com extremidades fixas temos
Como o nó é onde a amplitude espacial é sempre zero, procuramos
. Isso dá
com
. Ou seja, os nós estão em
.
Exemplo concreto: modo tem nós em
. Entre esses nós formam-se dois antinós de máxima amplitude.
Exemplo concreto: modo
Passo 4
Interpretação física para a corda (dicas didáticas para a prova).
- Um nó é um ponto que permanece sempre em repouso; portanto a energia cinética local ali é zero instantaneamente (a amplitude é zero em todos os tempos).
- Nós vêm da condição de contorno e da interferência entre ondas que viajam em sentidos opostos (ondas progressivas que formam uma onda estacionária).
- Como identificar num exercício: ache a parte espacial do modo normal, imponha
e resolva para . Se pedirem número de nós para o modo , a resposta é pontos incluindo as extremidades fixas, ou nós interiores (depende de contar as extremidades).
Passo 5
Caso (b): couro de tambor em vibração — generalidades e tipos de nós.
Um couro (membrana) é um sistema de duas dimensões. As soluções dos modos normais vêm da equação da onda bidimensional separável; a parte espacial tem contornos onde
. Nesses sistemas os “nós” formam linhas curvas (linhas nodais) que podem ser retas, circunferências ou curvas mais complexas, dependendo da geometria do tambor. Dois exemplos úteis:
Um couro (membrana) é um sistema de duas dimensões. As soluções dos modos normais vêm da equação da onda bidimensional separável; a parte espacial
- Membrana retangular (dimensões
e ): modos separáveis dão
com
. Os nós ocorrem quando qualquer um dos senos é zero, isto é, linhas verticais
ou horizontais
. São linhas retas que dividem a membrane em áreas oscilantes.
- Membrana circular (tímpico tambor redondo): as soluções radiais envolvem funções de Bessel e harmônicos angulares. Os nós aparecem como:
- círculos concêntricos (zeros radiais da função de Bessel), e
- linhas radiais/diâmetros (zeros da parte angular, correspondendo a mudanças de sinal com ângulo).
Esses padrões nodais são os famosos padrões de Chladni (se espalha pó sobre a superfície e ele se acumula nas linhas nodais).
Passo 6
Interpretação física para o tambor (didática e dicas).
- Numa membrana, um nó é uma linha (ou conjunto de linhas) onde o couro não se move. Entre essas linhas têm-se regiões que oscilam, possivelmente com fases alternadas.
- Frequência do modo e forma nodal: modos com mais linhas nodais têm frequência maior.
- Como resolver em prova: identificar a geometria, escrever a forma espacial do modo normal (separável em retangular; Bessel + senos/cossenos em circular), e impor
para achar a equação das linhas nodais. Se o enunciado não pedir solução técnica, descreva se são linhas retas (retângulo) ou círculos/diâmetros (círculo) e relacione com número de modos.
Passo 7
Caso (c): onda eletrônica num átomo — conceito quântico de nó.
No átomo as ondas eletrônicas são soluções estacionárias da equação de Schrödinger. A função de onda estacionária é (estados de energia discretos) e a densidade de probabilidade é
. Um nó quântico é uma posição (ponto, superfície) onde
No átomo as ondas eletrônicas são soluções estacionárias da equação de Schrödinger. A função de onda estacionária é
o que implica
: a probabilidade de encontrar o elétron ali é zero. Existem dois tipos principais de nós em orbitais atômicos:
- nós radiais: superfícies esféricas em que a parte radial
se anula; - nós angulares: superfícies de ângulo (planos ou cones) onde a parte angular
se anula (essas são os zeros dos harmônicos esféricos).
Passo 8
Exemplos e propriedades para o caso atômico (didática e fórmulas simples).
- Para orbitais hidrogenoides, o número total de nós =
. Desses, o número de nós angulares é e o número de nós radiais é . Aqui é o número quântico principal e o momento angular. - Exemplos concretos:
- Orbital
( ): tem nó radial — uma esfera onde a probabilidade é zero (a função radial muda de sinal atravessando essa esfera). - Orbital
( ): tem nó angular — uma superfície nodal que é, no caso de um p, um plano que passa pelo núcleo (a densidade é zero nesse plano).
- Orbital
- Significado físico: nó quântico significa impossibilidade de encontrar o elétron nessa região; a mudança de sinal da função de onda através do nó é relevante para interferência e ligações químicas. Além disso, modos com mais nós geralmente correspondem a estados de maior energia (para um mesmo potencial).
Passo 9
Como identificar nós em exercícios (receita prática para a prova).
- Encontre a solução espacial do modo normal
(na corda: seno; na membrana: produto de funções ou Bessel; no átomo: produto radial angular). - Impõe
. - Resolve a equação resultante para achar a geometria do nó: pontos
, linhas ou superfícies . - Interprete: nós dividem regiões com fases/operação opostas; número de nós costuma aumentar com o número do modo/energia.
Passo 10
Resumo motivacional e dica final rápida.
- Lembra: nó = amplitude sempre zero. Isso vale para corda (pontos), membrana (linhas), átomo (superfícies).
- Dica de prova: quando ver “onde estão os nós?” escreva a parte espacial, coloque igual a zero, resolva e descreva a geometria (ponto/linha/superfície). Você já tem o caminho para responder rápido e direitinho — vai dar certo!
Resposta
(a) Nó numa corda: ponto ao longo da corda onde a amplitude transversal é sempre zero; para uma corda fixa de comprimento
no modo
os nós estão em
com
.
(b) Nó num couro de tambor: linha nodal (ou conjunto de linhas) na superfície da membrana onde a amplitude é sempre zero; em membranas retangulares são retas (ex.: ,
) e em tambores circulares aparecem círculos concêntricos e diâmetros (zeros radiais e angulares das soluções em Bessel/harmônicos).
(c) Nó numa onda eletrônica: ponto/superfície onde a função de onda se anula, logo
(probabilidade nula); existem nós radiais (esferas) e nós angulares (planos/cones); para átomos hidrogenoides o número total de nós é
, com
nós angulares e
nós radiais.
(b) Nó num couro de tambor: linha nodal (ou conjunto de linhas) na superfície da membrana onde a amplitude é sempre zero; em membranas retangulares são retas (ex.:
(c) Nó numa onda eletrônica: ponto/superfície onde a função de onda