1. Descreva o significado de um nó, para os casos: (a) uma corda em vibração (b) um couro de tambor em vibração (c) uma onda eletrônica num átomo.

Passo 1

O enunciado pede que eu descreva o significado de um “nó” em três situações diferentes: (a) uma corda em vibração, (b) um couro de tambor em vibração, (c) uma onda eletrônica num átomo.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado): há oscilações estacionárias (modos normais) nos três sistemas, e precisamos dizer o que é um nó nesses contextos — ou seja, a definição geométrica/física e exemplos de como aparecem.

Passo 2

O que é, em termos gerais, um “nó”?
Definição prática: um nó é uma posição (ponto, linha ou superfície, dependendo do problema) onde a amplitude da oscilação é exatamente zero em todo instante do tempo. Matematicamente, para um modo estacionário cuja parte espacial é \Phi(\mathbf{r}) e cujo comportamento temporal é fatorável, o nó é o conjunto de pontos \mathbf{r} que satisfazem
\Phi(\mathbf{r})=0.
Explicação intuitiva: imagine a corda vibrando em pé — há pontos que nunca se movem: esses são os nós. Entre dois nós há uma região que oscila com máxima amplitude (antinode). O nó separa regiões que normalmente oscilam com fases opostas (quando o padrão mudar de sinal entre lados do nó).

Passo 3

Caso (a): corda em vibração — apresentação do modelo e identificação de nós.
Modelo simples: corda fixa nas duas extremidades de comprimento \,L. As soluções estacionárias (modos normais) são da forma
\Psi_n(x,t)=A\sin(k_n x)\cos(\omega_n t),
onde x é a coordenada ao longo da corda, n=1,2,3,\dots é o número do modo, k_n é o número de onda e \omega_n a frequência angular do modo. Para a corda com extremidades fixas temos
k_n=\frac{n\pi}{L},\qquad \lambda_n=\frac{2L}{n},\qquad \omega_n\propto n.
Como o nó é onde a amplitude espacial é sempre zero, procuramos \sin(k_n x)=0. Isso dá
k_n x = m\pi \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{mL}{n},
com m=0,1,2,\dots,n. Ou seja, os nós estão em \,x=0,\;x=\tfrac{L}{n},\;x=\tfrac{2L}{n},\dots,x=L.
Exemplo concreto: modo \,n=3 tem nós em \,x=0,\;x=\tfrac{L}{3},\;x=\tfrac{2L}{3},\;x=L. Entre esses nós formam-se dois antinós de máxima amplitude.

Passo 4

Interpretação física para a corda (dicas didáticas para a prova).
  • Um nó é um ponto que permanece sempre em repouso; portanto a energia cinética local ali é zero instantaneamente (a amplitude é zero em todos os tempos).
  • Nós vêm da condição de contorno e da interferência entre ondas que viajam em sentidos opostos (ondas progressivas que formam uma onda estacionária).
  • Como identificar num exercício: ache a parte espacial do modo normal, imponha \Phi(x)=0 e resolva para x. Se pedirem número de nós para o modo n, a resposta é (n+1) pontos incluindo as extremidades fixas, ou (n-1) nós interiores (depende de contar as extremidades).

Passo 5

Caso (b): couro de tambor em vibração — generalidades e tipos de nós.
Um couro (membrana) é um sistema de duas dimensões. As soluções dos modos normais vêm da equação da onda bidimensional separável; a parte espacial \Phi(x,y) tem contornos onde \Phi=0. Nesses sistemas os “nós” formam linhas curvas (linhas nodais) que podem ser retas, circunferências ou curvas mais complexas, dependendo da geometria do tambor. Dois exemplos úteis:
  • Membrana retangular (dimensões L_x e L_y): modos separáveis dão
\Phi_{m,n}(x,y)=\sin\!\bigg(\frac{m\pi x}{L_x}\bigg)\sin\!\bigg(\frac{n\pi y}{L_y}\bigg),
com m,n=1,2,\dots. Os nós ocorrem quando qualquer um dos senos é zero, isto é, linhas verticais x=\tfrac{pL_x}{m} ou horizontais y=\tfrac{qL_y}{n}. São linhas retas que dividem a membrane em áreas oscilantes.
  • Membrana circular (tímpico tambor redondo): as soluções radiais envolvem funções de Bessel e harmônicos angulares. Os nós aparecem como:
    • círculos concêntricos (zeros radiais da função de Bessel), e
    • linhas radiais/diâmetros (zeros da parte angular, correspondendo a mudanças de sinal com ângulo).
      Esses padrões nodais são os famosos padrões de Chladni (se espalha pó sobre a superfície e ele se acumula nas linhas nodais).

Passo 6

Interpretação física para o tambor (didática e dicas).
  • Numa membrana, um nó é uma linha (ou conjunto de linhas) onde o couro não se move. Entre essas linhas têm-se regiões que oscilam, possivelmente com fases alternadas.
  • Frequência do modo e forma nodal: modos com mais linhas nodais têm frequência maior.
  • Como resolver em prova: identificar a geometria, escrever a forma espacial do modo normal (separável em retangular; Bessel + senos/cossenos em circular), e impor \Phi(x,y)=0 para achar a equação das linhas nodais. Se o enunciado não pedir solução técnica, descreva se são linhas retas (retângulo) ou círculos/diâmetros (círculo) e relacione com número de modos.

Passo 7

Caso (c): onda eletrônica num átomo — conceito quântico de nó.
No átomo as ondas eletrônicas são soluções estacionárias da equação de Schrödinger. A função de onda estacionária é \Psi_{n,\ell,m}(\mathbf{r}) (estados de energia discretos) e a densidade de probabilidade é |\Psi_{n,\ell,m}(\mathbf{r})|^2. Um nó quântico é uma posição (ponto, superfície) onde
\Psi_{n,\ell,m}(\mathbf{r})=0,
o que implica |\Psi_{n,\ell,m}(\mathbf{r})|^2=0: a probabilidade de encontrar o elétron ali é zero. Existem dois tipos principais de nós em orbitais atômicos:
  • nós radiais: superfícies esféricas em que a parte radial R_{n\ell}(r) se anula;
  • nós angulares: superfícies de ângulo (planos ou cones) onde a parte angular Y_{\ell}^m(\theta,\varphi) se anula (essas são os zeros dos harmônicos esféricos).

Passo 8

Exemplos e propriedades para o caso atômico (didática e fórmulas simples).
  • Para orbitais hidrogenoides, o número total de nós = n-1. Desses, o número de nós angulares é \ell e o número de nós radiais é n-\ell-1. Aqui \,n é o número quântico principal e \,\ell o momento angular.
  • Exemplos concretos:
    • Orbital \,2s ( n=2,\ell=0): tem n-\ell-1=1 nó radial — uma esfera onde a probabilidade é zero (a função radial muda de sinal atravessando essa esfera).
    • Orbital \,2p ( n=2,\ell=1): tem \ell=1 nó angular — uma superfície nodal que é, no caso de um p, um plano que passa pelo núcleo (a densidade é zero nesse plano).
  • Significado físico: nó quântico significa impossibilidade de encontrar o elétron nessa região; a mudança de sinal da função de onda através do nó é relevante para interferência e ligações químicas. Além disso, modos com mais nós geralmente correspondem a estados de maior energia (para um mesmo potencial).

Passo 9

Como identificar nós em exercícios (receita prática para a prova).
  1. Encontre a solução espacial do modo normal \Phi(\mathbf{r}) (na corda: seno; na membrana: produto de funções ou Bessel; no átomo: produto radial \times angular).
  2. Impõe \Phi(\mathbf{r})=0.
  3. Resolve a equação resultante para achar a geometria do nó: pontos x, linhas x,y ou superfícies r,\theta,\varphi.
  4. Interprete: nós dividem regiões com fases/operação opostas; número de nós costuma aumentar com o número do modo/energia.

Passo 10

Resumo motivacional e dica final rápida.
  • Lembra: nó = amplitude sempre zero. Isso vale para corda (pontos), membrana (linhas), átomo (superfícies).
  • Dica de prova: quando ver “onde estão os nós?” escreva a parte espacial, coloque igual a zero, resolva e descreva a geometria (ponto/linha/superfície). Você já tem o caminho para responder rápido e direitinho — vai dar certo!

Resposta

(a) Nó numa corda: ponto ao longo da corda onde a amplitude transversal é sempre zero; para uma corda fixa de comprimento \,L no modo n os nós estão em \,x=\dfrac{mL}{n} com m=0,1,\dots,n.
(b) Nó num couro de tambor: linha nodal (ou conjunto de linhas) na superfície da membrana onde a amplitude é sempre zero; em membranas retangulares são retas (ex.: x=\tfrac{pL_x}{m}, y=\tfrac{qL_y}{n}) e em tambores circulares aparecem círculos concêntricos e diâmetros (zeros radiais e angulares das soluções em Bessel/harmônicos).
(c) Nó numa onda eletrônica: ponto/superfície onde a função de onda \Psi_{n,\ell,m}(\mathbf{r}) se anula, logo |\Psi|^2=0 (probabilidade nula); existem nós radiais (esferas) e nós angulares (planos/cones); para átomos hidrogenoides o número total de nós é n-1, com \ell nós angulares e n-\ell-1 nós radiais.

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