Calcule os comutadores
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o comutador
.
Informações dadas e hipóteses que vamos usar (tudo padrão em mecânica quântica unidimensional):
-
é o operador de multiplicação por . -
é o operador momento canônico na representação de posição, com a representação diferencial
- Vamos trabalhar com operadores que atuam em funções
suficientemente suaves (teste padrão).
Passo 2
Identidade útil para comutadores envolvendo potências:
onde
. Vou provar rapidamente: expandindo
Portanto podemos reduzir
ao conhecer
.
Passo 3
Vamos calcular o comutador
para uma função arbitrária
. Tomemos uma função teste
e calculemos
:
Primeiro,
.
Segundo, usando a regra do produto,
Subtraindo,
Como isto vale para toda
, obtemos a identidade de operador
Ou seja:
.
Passo 4
Aplicando a fórmula do passo anterior com
. Calculamos a derivada
Logo
Passo 5
Usando a identidade do passo 2:
Substituindo o resultado do passo 4:
Esta é uma forma compacta (em termos do anticomutador). Podemos também expressar de forma expandida em que apenas aparecem
à direita ou termos multiplicativos.
Passo 6
Para expandir, usamos a relação (já usada indiretamente antes)
. Tomamos
, cuja derivada é
Portanto
Substituindo isto em
obtemos
Multiplicando por
(veja passo 5),
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida: podemos escrever o resultado de forma equivalente como
(onde
é o anticomutador) ou na forma expandida
Se quisermos ver como age sobre uma função
, aplicar a expressão expandida ou a forma original leva ao mesmo resultado após usar
.