Calcule os comutadores
\left[(1 / x), p_{x}^{2}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o comutador \left[\dfrac{1}{x},\,p_x^{2}\right].
Informações dadas e hipóteses que vamos usar (tudo padrão em mecânica quântica unidimensional):
  • \dfrac{1}{x} é o operador de multiplicação por 1/x.
  • p_x é o operador momento canônico na representação de posição, com a representação diferencial
p_x = -i\hbar\frac{d}{dx}.
  • Vamos trabalhar com operadores que atuam em funções \psi(x) suficientemente suaves (teste padrão).

Passo 2

Identidade útil para comutadores envolvendo potências:
[A,\,B^{2}] = [A,\,B]\,B + B\,[A,\,B],
onde [A,B]=AB-BA. Vou provar rapidamente: expandindo
[A,B]B + B[A,B] = (AB-BA)B + B(AB-BA) = ABB - BAB + BAB - BBA = ABB - BBA = [A,B^{2}].
Portanto podemos reduzir \left[\dfrac{1}{x},p_x^{2}\right] ao conhecer \left[\dfrac{1}{x},p_x\right].

Passo 3

Vamos calcular o comutador \left[f(x),\,p_x\right] para uma função arbitrária f(x). Tomemos uma função teste \psi(x) e calculemos \left(f p_x - p_x f\right)\psi:
Primeiro, f p_x \psi = f(x)\left(-i\hbar\frac{d\psi}{dx}\right) = -i\hbar f(x)\psi'(x).
Segundo, usando a regra do produto,
p_x f \psi = -i\hbar\frac{d}{dx}\big(f(x)\psi(x)\big) = -i\hbar\big(f'(x)\psi(x) + f(x)\psi'(x)\big).
Subtraindo,
\big(f p_x - p_x f\big)\psi = -i\hbar f(x)\psi' + i\hbar\big(f'(x)\psi + f(x)\psi'\big) = i\hbar f'(x)\psi.
Como isto vale para toda \psi, obtemos a identidade de operador
\big[f(x),\,p_x\big] = i\hbar f'(x).
Ou seja: [f,p_x]=i\hbar \dfrac{df}{dx}.

Passo 4

Aplicando a fórmula do passo anterior com f(x)=\dfrac{1}{x}. Calculamos a derivada
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^{2}}.
Logo
\left[\frac{1}{x},\,p_x\right] = i\hbar\left(-\frac{1}{x^{2}}\right) = -\,\frac{i\hbar}{x^{2}}.

Passo 5

Usando a identidade do passo 2:
\left[\frac{1}{x},\,p_x^{2}\right] = \left[\frac{1}{x},\,p_x\right]p_x + p_x\left[\frac{1}{x},\,p_x\right].
Substituindo o resultado do passo 4:
\left[\frac{1}{x},\,p_x^{2}\right] = \left(-\frac{i\hbar}{x^{2}}\right)p_x + p_x\left(-\frac{i\hbar}{x^{2}}\right) = -i\hbar\left(\frac{1}{x^{2}}p_x + p_x\frac{1}{x^{2}}\right).
Esta é uma forma compacta (em termos do anticomutador). Podemos também expressar de forma expandida em que apenas aparecem p_x à direita ou termos multiplicativos.

Passo 6

Para expandir, usamos a relação (já usada indiretamente antes) p_x f = f p_x - i\hbar f'. Tomamos f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}, cuja derivada é
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^{2}}\right) = -\frac{2}{x^{3}}.
Portanto
p_x\frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}p_x - i\hbar\left(-\frac{2}{x^{3}}\right) = \frac{1}{x^{2}}p_x + i\hbar\frac{2}{x^{3}}.
Substituindo isto em \frac{1}{x^{2}}p_x + p_x\frac{1}{x^{2}} obtemos
\frac{1}{x^{2}}p_x + p_x\frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}p_x + \left(\frac{1}{x^{2}}p_x + i\hbar\frac{2}{x^{3}}\right) = 2\frac{1}{x^{2}}p_x + i\hbar\frac{2}{x^{3}}.
Multiplicando por -i\hbar (veja passo 5),
\left[\frac{1}{x},\,p_x^{2}\right] = -i\hbar\left(2\frac{1}{x^{2}}p_x + i\hbar\frac{2}{x^{3}}\right) = -2i\hbar\frac{1}{x^{2}}p_x + 2\hbar^{2}\frac{1}{x^{3}}.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida: podemos escrever o resultado de forma equivalente como
\left[\frac{1}{x},\,p_x^{2}\right] = -\,i\hbar\Big\{\frac{1}{x^{2}},\,p_x\Big\}
(onde \{A,B\}=AB+BA é o anticomutador) ou na forma expandida
\left[\frac{1}{x},\,p_x^{2}\right] = 2\frac{\hbar^{2}}{x^{3}} - 2i\hbar\frac{1}{x^{2}}p_x.
Se quisermos ver como age sobre uma função \psi, aplicar a expressão expandida ou a forma original leva ao mesmo resultado após usar p_x=-i\hbar d/dx.

Resposta

\left[\frac{1}{x},\,p_x^{2}\right] = -\,i\hbar\left(\frac{1}{x^{2}}p_x + p_x\frac{1}{x^{2}}\right)
\left[\frac{1}{x},\,p_x^{2}\right] = 2\frac{\hbar^{2}}{x^{3}} - 2i\hbar\frac{1}{x^{2}}p_x

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