A. 168 Resolver em \| R as inequações:
(5 x+1)^{3} \leqslant 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a inequação
(5x+1)^{3} \leqslant 0.
Informações fornecidas: a expressão é uma potência de expoente 3 (ímpar) aplicada a uma expressão linear 5x+1. A pergunta é: quais são os valores de x reais que satisfazem essa desigualdade?

Passo 2

Entendendo o que significa elevar ao cubo em termos de sinal (aulas rápidas e úteis).
  • Se t é um número real, então t^{3} tem o mesmo sinal de t: se t>0 então t^{3}>0; se t=0 então t^{3}=0; se t<0 então t^{3}<0.
  • Em outras palavras, a função t\mapsto t^{3} é crescente em \mathbb{R}: isto significa que, ao aplicar a função cubo em ambos os lados de uma desigualdade, a direção da desigualdade não muda.
    Resumo prático que vamos usar: para qualquer t\in\mathbb{R},
t^{3} \leqslant 0 \quad\Longleftrightarrow\quad t \leqslant 0.
(Isto porque cubo de números negativos é negativo, cubo de zero é zero, cubo de positivos é positivo.)

Passo 3

Aplique a observação do passo anterior ao nosso caso. Ponha t=5x+1. A inequação fica
t^{3} \leqslant 0 \quad\Longleftrightarrow\quad t \leqslant 0,
ou seja
5x+1 \leqslant 0.

Passo 4

Agora resolvemos a desigualdade linear 5x+1 \leqslant 0.
  • Subtraindo 1 de ambos os lados: 5x \leqslant -1.
  • Dividindo ambos os lados por 5 (como 5>0, a desigualdade mantém o sentido): x \leqslant -\dfrac{1}{5}.

Passo 5

Interpretação e checagem rápida:
  • A solução em notação de intervalo é \left(-\infty, -\dfrac{1}{5}\right].
  • Testes rápidos: se x=-1 temos (5(-1)+1)^{3}=(-4)^{3}=-64\leqslant0 (ok); se x=0 temos (1)^{3}=1>0 (não deve pertencer); se x=-\dfrac{1}{5} a expressão vale 0 (está incluído).

Passo 6

Dica para a prova (memorização útil): para potências de expoente ímpar, basta resolver a desigualdade do argumento (a base) com o mesmo sentido; para potências de expoente par, a expressão é sempre \geqslant 0, então desigualdades do tipo \leqslant 0 só acontecem quando a base é zero — por exemplo, (2x-3)^{2}\leqslant0 implica 2x-3=0.

Resposta

\left(-\infty,-\dfrac{1}{5}\right]

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