A. 168 Resolver em \| R as inequações:
(3 x-8)^{5} \geqslant 0

Passo 1

Enunciado: Resolver em \mathbb{R} a inequação
(3x-8)^{5} \geqslant 0.
Informações dadas: a expressão é a quinta potência (expoente ímpar) de uma expressão linear (3x-8). Pergunta: determinar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a inequação.

Passo 2

Entender uma propriedade-chave: potências de expoente ímpar preservam o sinal da base. Vou explicar isso direitinho.
Seja t\in\mathbb{R}.
  • Se t\geqslant 0, então t^{5}\geqslant 0 porque produto de números não negativos é não negativo.
  • Se t<0, então t^{5}<0 porque multiplicar um número negativo um número ímpar de vezes dá um resultado negativo (por exemplo, (-2)^{5}=-32).
    Portanto, para qualquer real t vale a equivalência
t^{5}\geqslant 0 \quad\Longleftrightarrow\quad t\geqslant 0.
Isso é a razão prática: podemos “retirar” o expoente ímpar transformando a inequação no sinal da base.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso caso, com t=3x-8, temos a equivalência
(3x-8)^{5}\geqslant 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 3x-8\geqslant 0.
Explicando: como o expoente é ímpar ( 5), a inequação sobre a potência é satisfeita exatamente quando a base é não negativa.

Passo 4

Resolver a inequação linear resultante 3x-8\geqslant 0.
Passo a passo:
3x-8\geqslant 0
Adiciono 8 aos dois lados:
3x \geqslant 8.
Agora divido ambos os lados por 3. Como 3>0, a desigualdade mantém a direção:
x \geqslant \frac{8}{3}.

Passo 5

Verificação rápida e intuição:
  • Se x=\frac{8}{3}, então 3x-8=0 e (3x-8)^{5}=0, que satisfaz \geqslant 0.
  • Se x>\frac{8}{3}, então 3x-8>0 e a quinta potência é positiva.
  • Se x<\frac{8}{3}, então 3x-8<0 e a quinta potência é negativa (portanto não satisfaz).
    Tudo bate com a solução obtida.

Resposta

\left[\dfrac{8}{3},+\infty\right)

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