Calcule a concentração das espécies
iv) \mathrm{H}_{3} \mathrm{Y}^{-} em uma solução 0,010 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} de EDTA tamponada em pH 10 . (
Dados: \mathrm{k}_{\mathrm{a} 1}=1,02 \times 10^{-2} ; \mathrm{k}_{\mathrm{a} 2}=2,14 \times 10^{-3} ; \mathrm{k}_{\mathrm{a} 3}=6,9 \times 10^{-7} ; \mathrm{k}_{\mathrm{a} 4}=5,5 \times 10^{-11}

Passo 1

O que o problema pede: calcular a concentração da espécie \mathrm{H}_{3}\mathrm{Y}^{-} em uma solução de EDTA com concentração total 0,010\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L} a pH 10.\n
Dados fornecidos (vou listá-los exatamente como no enunciado):
\begin{aligned} &c_\text{total}(\text{EDTA}) = 0,010\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L},\\\ &\mathrm{k}_{\mathrm{a}1}=1{,}02\times10^{-2},\\\ &\mathrm{k}_{\mathrm{a}2}=2{,}14\times10^{-3},\\\ &\mathrm{k}_{\mathrm{a}3}=6{,}9\times10^{-7},\\\ &\mathrm{k}_{\mathrm{a}4}=5{,}5\times10^{-11},\\\ &\text{pH} = 10 \Rightarrow [\mathrm{H}^+]=10^{-10}\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}. \end{aligned}

Passo 2

Organizar as espécies do ácido tetraprótico EDTA ( \mathrm{H}_4\mathrm{Y}) e escrever a relação entre constantes de acidez e concentrações. As espécies são:
\mathrm{H}_4\mathrm{Y},\quad \mathrm{H}_3\mathrm{Y}^-,\quad \mathrm{H}_2\mathrm{Y}^{2-},\quad \mathrm{H}\mathrm{Y}^{3-},\quad \mathrm{Y}^{4-}.
As constantes de acidez relacionam-se assim:
\begin{aligned} \mathrm{K}_{\mathrm{a}1} &= \dfrac{[\mathrm{H}_3\mathrm{Y}^-][\mathrm{H}^+]}{[\mathrm{H}_4\mathrm{Y}]},\\[6pt] \mathrm{K}_{\mathrm{a}2} &= \dfrac{[\mathrm{H}_2\mathrm{Y}^{2-}][\mathrm{H}^+]}{[\mathrm{H}_3\mathrm{Y}^-]},\\[6pt] \mathrm{K}_{\mathrm{a}3} &= \dfrac{[\mathrm{H}\mathrm{Y}^{3-}][\mathrm{H}^+]}{[\mathrm{H}_2\mathrm{Y}^{2-}]},\\[6pt] \mathrm{K}_{\mathrm{a}4} &= \dfrac{[\mathrm{Y}^{4-}][\mathrm{H}^+]}{[\mathrm{H}\mathrm{Y}^{3-}]}. \end{aligned}]

Passo 3

Expressar todas as concentrações das espécies em termos de [\mathrm{H}_4\mathrm{Y}] e de [\mathrm{H}^+] usando as relações de Ka (isso é útil para somar e igualar à concentração total). A partir das relações do passo anterior:
\begin{aligned} [\mathrm{H}_3\mathrm{Y}^-] &= \dfrac{\mathrm{K}_{\mathrm{a}1}}{[\mathrm{H}^+]}[\mathrm{H}_4\mathrm{Y}],\\[6pt] [\mathrm{H}_2\mathrm{Y}^{2-}] &= \dfrac{\mathrm{K}_{\mathrm{a}1}\mathrm{K}_{\mathrm{a}2}}{[\mathrm{H}^+]^2}[\mathrm{H}_4\mathrm{Y}],\\[6pt] [\mathrm{H}\mathrm{Y}^{3-}] &= \dfrac{\mathrm{K}_{\mathrm{a}1}\mathrm{K}_{\mathrm{a}2}\mathrm{K}_{\mathrm{a}3}}{[\mathrm{H}^+]^3}[\mathrm{H}_4\mathrm{Y}],\\[6pt] [\mathrm{Y}^{4-}] &= \dfrac{\mathrm{K}_{\mathrm{a}1}\mathrm{K}_{\mathrm{a}2}\mathrm{K}_{\mathrm{a}3}\mathrm{K}_{\mathrm{a}4}}{[\mathrm{H}^+]^4}[\mathrm{H}_4\mathrm{Y}]. \end{aligned}]

Passo 4

Escrever a equação da conservação da matéria (concentração total analítica c_\text{total} é soma das concentrações de todas as espécies) e resolver simbolicamente para [\mathrm{H}_4\mathrm{Y}]. A soma é:
\begin{aligned} c_\text{total} &= [\mathrm{H}_4\mathrm{Y}]+[\mathrm{H}_3\mathrm{Y}^-]+[\mathrm{H}_2\mathrm{Y}^{2-}]+[\mathrm{H}\mathrm{Y}^{3-}]+[\mathrm{Y}^{4-}]\\[4pt] &= [\mathrm{H}_4\mathrm{Y}]\left(1+\dfrac{\mathrm{K}_{\mathrm{a}1}}{[\mathrm{H}^+]}+\dfrac{\mathrm{K}_{\mathrm{a}1}\mathrm{K}_{\mathrm{a}2}}{[\mathrm{H}^+]^2}+\dfrac{\mathrm{K}_{\mathrm{a}1}\mathrm{K}_{\mathrm{a}2}\mathrm{K}_{\mathrm{a}3}}{[\mathrm{H}^+]^3}+\dfrac{\mathrm{K}_{\mathrm{a}1}\mathrm{K}_{\mathrm{a}2}\mathrm{K}_{\mathrm{a}3}\mathrm{K}_{\mathrm{a}4}}{[\mathrm{H}^+]^4}\right). \end{aligned}
Dessa equação obtemos [\mathrm{H}_4\mathrm{Y}], mas o que mais nos interessa é a fração \alpha_1 (fração de EDTA na forma \mathrm{H}_3\mathrm{Y}^-):
\alpha_1=\dfrac{[\mathrm{H}_3\mathrm{Y}^-]}{c_\text{total}} =\dfrac{\dfrac{\mathrm{K}_{\mathrm{a}1}}{[\mathrm{H}^+]}}{1+\dfrac{\mathrm{K}_{\mathrm{a}1}}{[\mathrm{H}^+]}+\dfrac{\mathrm{K}_{\mathrm{a}1}\mathrm{K}_{\mathrm{a}2}}{[\mathrm{H}^+]^2}+\dfrac{\mathrm{K}_{\mathrm{a}1}\mathrm{K}_{\mathrm{a}2}\mathrm{K}_{\mathrm{a}3}}{[\mathrm{H}^+]^3}+\dfrac{\mathrm{K}_{\mathrm{a}1}\mathrm{K}_{\mathrm{a}2}\mathrm{K}_{\mathrm{a}3}\mathrm{K}_{\mathrm{a}4}}{[\mathrm{H}^+]^4}}.
(é equivalente à forma apresentada no passo de teoria; aqui escrevemos em função de potências de [\mathrm{H}^+] no denominador para facilitar a substituição numérica).]

Passo 5

Substituir os valores numéricos. Primeiro escrevo [\mathrm{H}^+]=10^{-10}. Vou calcular os termos do denominador (tudo em mol/L) com notação científica:
\begin{aligned} T_0 &=[\mathrm{H}^+]^4=(10^{-10})^4=10^{-40},\\[4pt] T_1 &=\mathrm{K}_{\mathrm{a}1}[\mathrm{H}^+]^3=1{,}02\times10^{-2}\times10^{-30}=1{,}02\times10^{-32},\\[4pt] T_2 &=\mathrm{K}_{\mathrm{a}1}\mathrm{K}_{\mathrm{a}2}[\mathrm{H}^+]^2=(1{,}02\times10^{-2})(2{,}14\times10^{-3})\times10^{-20}=2{,}1828\times10^{-25},\\[4pt] T_3 &=\mathrm{K}_{\mathrm{a}1}\mathrm{K}_{\mathrm{a}2}\mathrm{K}_{\mathrm{a}3}[\mathrm{H}^+]=(1{,}02\times10^{-2})(2{,}14\times10^{-3})(6{,}9\times10^{-7})\times10^{-10}\\\ &\quad=1{,}505732\times10^{-21},\\[4pt] T_4 &=\mathrm{K}_{\mathrm{a}1}\mathrm{K}_{\mathrm{a}2}\mathrm{K}_{\mathrm{a}3}\mathrm{K}_{\mathrm{a}4} =(1{,}505732\times10^{-11})(5{,}5\times10^{-11})=8{,}281526\times10^{-22}. \end{aligned}
Observação: no cálculo de T_4 usei o produto \mathrm{K}_{\mathrm{a}1}\mathrm{K}_{\mathrm{a}2}\mathrm{K}_{\mathrm{a}3}=1{,}505732\times10^{-11} (veja passagem anterior) e multipliquei por \mathrm{K}_{\mathrm{a}4}.]

Passo 6

Somar os termos do denominador (os termos muito pequenos são desprezíveis se comparados aos maiores, mas eu os somei para transparência):
D = T_0 + T_1 + T_2 + T_3 + T_4 \approx 1{,}505732\times10^{-21} + 8{,}281526\times10^{-22} \approx 2{,}3338846\times10^{-21}.
Os termos T_0,T_1,T_2 são muito menores que T_3 e T_4 e praticamente não contribuem, por isso o denominador é dominado por T_3+T_4.

Passo 7

Calcular a fração \alpha_1 (para \mathrm{H}_3\mathrm{Y}^-). O numerador é \dfrac{\mathrm{K}_{\mathrm{a}1}}{[\mathrm{H}^+]}=\mathrm{K}_{\mathrm{a}1}[\mathrm{H}^+]^3/[\mathrm{H}^+]^4, mas eu já calculei T_1=\mathrm{K}_{\mathrm{a}1}[\mathrm{H}^+]^3. Portanto:
\alpha_1=\dfrac{T_1}{D}=\dfrac{1{,}02\times10^{-32}}{2{,}3338846\times10^{-21}} \approx 4{,}37206\times10^{-12}.

Passo 8

Obter a concentração absoluta de \mathrm{H}_3\mathrm{Y}^- multiplicando a fração pelo c_\text{total}:
[\mathrm{H}_3\mathrm{Y}^-]=c_\text{total}\times\alpha_1 =0,010\times 4{,}37206\times10^{-12} \approx 4{,}37206\times10^{-14}\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.
Arredondando com número razoável de algarismos significativos (dois ou três) temos aproximadamente 4{,}37\times10^{-14}\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.

Resposta

\displaystyle [\mathrm{H}_3\mathrm{Y}^-]\approx 4{,}37\times10^{-14}\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}

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